Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов (стр. 7 из 14)
Начинать упражнения следует с определения на глаз малых расстояний, а по мере совершенствования глазомера переходить к определению больших расстояний. Определяемые на глаз расстояния необходимо проверять путем непосредственного измерения мерной лентой с целью убеждения в качестве глазомера.
В процессе непосредственных измерений, учащиеся поймут, как вычисляются те или иные геометрические величины, с помощью формул, а также смогут оценить все достоинства непосредственных и косвенных измерений. В школьном курсе геометрии большое внимание уделяется задачам на косвенное измерение величин. Косвенные измерения могут быть осуществлены на основании геометрических свойств фигур. Использование учащимися знаний, приобретенных на уроках геометрии, имеет большое образовательное и практическое значение. Учащиеся на личном опыте проведения измерительных работ убеждаются в ценности математических знаний, что несомненно способствует повышению у них интереса к изучению геометрии, а также математики, в целом.
5.1.2 Задачи на косвенные измерения
Рассмотрим, задачи на косвенные измерения, то есть в которых необходимо использовать теорему для нахождения геометрической величины.
Пример 1. Найти площадь прямоугольного треугольника, есди известны катеты а и b.
Для этого учащимся необходимо вспомнить определение прямоугольного треугольника и формулу, по которой удобно вычислить площадь рассматриваемого треугольника.
Итак, прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов прямой. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
, где а и b – катеты прямоугольного треугольника (рис. 23). Таким образом, по известным катетам ученики могут найти площадь треугольника, не прибегая к использованию измерительных инструментов. 
Рис. 23
5.1.3 Задачи, в которых до методов косвенного измерения, применяются непосредственные измерения
Можно также выделить класс задач, в которых до методов косвенного измерения, применяются непосредственные измерения.
Пример 2. Найти площадь круга.
Для этого, ученикам необходимо применить формулу:
. При этом, ученики путем непосредственного измерения могут найти радиус круга, а затем и площадь. Рассмотрим способ нахождения радиуса:1. Построим произвольную хорду окружности (рис. 24).
Рис. 24
2. Построим серединный перпендикуляр m к отрезку АВ.
3. Прямая m пересекает окружность в двух точках С и D. Середина этого отрезка О – центр окружности (рис. 25).
Рис. 25
Таким образом, ученикам необходимо измерить радиус ОА, а после найти по уже указанной формуле площадь круга.
Также к задачам на косвенные измерения можно отнести некоторые задачи на измерения на местности: например, измерение недоступного расстояния между доступными точками; измерение расстояния между недоступными точками; измерение расстояния до доступной точки.
Пример 3. Измерить ширину озера.
Рис. 26 задачи были использованы признаки равенства треугольников.
Строим произвольный треугольник ABC. На продолжениях АС и ВС откладываем А'С и В'С . Соединив точки А' и В', получим ∆А'В'С = ∆АВС по двум сторонам и углу между ними (рис. 26). Из равенства треугольников следует, что АВ = А'В'. Измерив непосредственно А'В', определим и равное ему недоступное расстояние АВ.
Заметим, что при решении данной
При измерениях на местности часто используют и другие известные теоремы, свойства и признаки:
- свойства равнобедренного треугольника;
- свойства прямоугольного треугольника;
- подобие треугольников;
- теорема Фалеса;
- теоремы синусов и косинусов и др.
5.1.4 Задачи на измерение геометрических величин средствами информационных технологий
Также при обучении измерениям в курсе геометрии могут быть использованы измерения с помощью информационных технологий. Одной из программ для наглядного иллюстрирования математических процессов является программа «Живая геометрия» [33]. Она является наиболее простым и легко доступным средством иллюстрации математических процессов и явлений.
С помощью этой программы возможно измерение следующих величин: длины отрезка; расстояния между двумя точками; периметра; длины окружности; углов; площади; длины дуги; радиуса. Использование данной программы возможно при решении различного рода задач.
Пример 4. Необходимо найти гипотенузу прямоугольного треугольника (рис. 27).
Рис. 27
Ученики могут самостоятельно построить прямоугольный треугольник с использованием данной программы, и измерить необходимые длины. Посмотреть, как изменяется длина гипотенузы в зависимости от изменения длины катетов. Также учащиеся могут проверить результат, путем вычислений. Это можно сделать самостоятельно: по теореме Пифагора:
или с использованием программы (рис. 28): 
Рис. 28
Так же как и в случае непосредственных измерений мы работаем с приближенными значениями. Применение рассматриваемой программы не только показывает ученикам возможности ее использования и вызывает интерес у учащихся к предмету, в целом, к изучаемой теме, в частности. Также позволяет увидеть и «открыть» некоторые геометрические теоремы.
Таким образом, мы рассмотрели виды заданий на измерения. Теперь перейдем к рассмотрению различных направлений использования измерений в курсе геометрии.
5.2 Использование измерений геометрических величин на разных этапах урока геометрии
Как уже было сказано выше, измерения можно использовать на самых различных этапах обучения:
- при изучении нового материала;
- при закреплении полученных знаний;
- при решении задач, выводе формул или установлении каких-либо математических фактов;
- для установления межпредметных связей;
- для опровержения утверждений и др.
Использование измерений при изучении нового материала.
Например, при изучении площадей треугольника по формуле
.Ученикам могут быть розданы различные вырезанные из бумаги треугольники с отмеченными на них высотами (рис. 29).
Рис. 29
Учащиеся измеряют длины сторон а и b и длины высот, проведенных к стороне a, а также угол g. И вычисляют площадь треугольника по уже известной формуле.
Для удобства заносят результаты измерений в таблицу:
Таблица 3
| Длина стороны а | Длина стороны b | Длина высоты hа | sin g | Площадь треугольника |
| 1. | ||||
| 2. |
После нескольких таких измерений, учащиеся могут догадаться, что
. Таким образом, сформулировать гипотезу. Ученики при этом пользовались непосредственными и косвенными измерениями.При изучении, например, теоремы о площади треугольника, вычисляемой по формуле:
, могут быть использованы измерения с помощью информационных технологий (рис. 30). 
Рис. 30
Ученикам можно показать, что пока длина высоты и стороны, к которой проведена эта высота, не изменятся, площадь треугольника также не изменится (рис. 31).
Рис. 31
Таким образом, учащиеся могут сделать вывод о том, что площадь треугольника зависит от стороны треугольника и высоты, проведенной к этой стороне. После некоторых исследований, учащиеся также смогут сделать вывод, что площадь треугольника вычисляется по формуле:
.Таким образом, измерения могут быть средством обнаружения каких-то математических фактов.
Помимо этого, измерения могут быть использованы для проверки достоверности или опровержения какого-то высказывания.
Например, в треугольнике сумма двух его сторон меньше третьей стороны.
Итак, учащиеся могут проверить правильность этого высказывания путем измерения сторон произвольного треугольника. Затем сделать вывод о недостоверности этого высказывания.
Или учитель предлагает ученикам выяснить верно, ли высказывание о том, что в любом треугольнике сумма двух его сторон больше третьей его стороны. Учащиеся, начертив каждый свой треугольник в тетради, убеждаются в том, что неравенство выполняется. После чего уже ищут доказательство этого утверждения.
Рассмотрим другой пример: пусть ученикам уже известно, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла этого треугольника, не смежного с ним. Для уточнения знаний о соотношении между величиной любого внешнего угла и величиной суммы внутренних углов треугольника, не смежных с ним, учащимся может быть предложено начертить произвольный треугольник АВС, построить три внешних угла и обозначить внутренние и внешние углы цифрами.