Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов (стр. 8 из 14)
Затем убедиться в том, что внешний угол треугольника действительно равен сумме внутренних углов этого треугольника, несмежного с ним. После этого доказать соответствующую теорему.
Измерения могут быть использованы и для решения каких-либо задач.
Рассмотрим следующую задачу:
По данным катетам a и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведенную к гипотенузе: а = 5см, b = 12см.
Эту задачу можно решить с применением косвенных измерений площади треугольника, то есть, используя известную формулу:
, и вычислив при этом гипотенузу прямоугольного треугольника. Также можно построить такой треугольник, и измерить необходимый отрезок. Таким образом, также пользуясь измерениями.При этом все задачи, решаемые с использованием измерений можно разделить на две группы: задачи на местности, то есть для которых не составлена математическая модель для их решения и задачи, которые являются математической моделью некоторой реальной ситуации.
Итак, направления применения измерений в курсе геометрии, рассмотренные нами:
- использование измерений для обнаружения математических фактов;
- измерения для доказательства теорем или опровержения утверждений;
- использование измерений при решении задач;
- для установления межпредметных связей и др.
Таким образом, мы можем сделать вывод не только о практической значимости измерений, но и ценности их во всей геометрии.
Глава 2. Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7 – 9 классов
§1. Примеры использования измерений в обучении геометрии
Мы рассмотрели различные направления использования измерений в курсе геометрии. Теперь приведем примеры использования измерений при изучении различных тем курса, при достижении различных дидактических целей.
1.1 Использование измерений при введении новой темы
Ученикам предлагается для изучения новая теорема или какой-либо математический факт. Важно, чтобы школьник усвоил и формулировку и все пункты доказательства, чтобы он был убежден в справедливости доказываемого утверждения, также важно, чтобы ученик понимал, для чего служит эта теорема. Использование измерений помогает добиться этого понимания. Также ученик в результате ряда измерений может самостоятельно прийти к формулировке гипотезы. При введении новой темы могут быть применены как непосредственные так и косвенные измерения. Они могут служить средством обнаружения математических фактов, средством для доказательства теоремы или опровержения утверждений.
Рассмотрим способ применения измерений при введении теоремы о сумме углов треугольника. Важно, чтобы ученики понимали, что сумма углов произвольного треугольника постоянна. И для того, чтобы они убедились в этом, им нужно самим измерить углы различных треугольников и найти их сумму. Таким образом, на уроке используются непосредственные измерения.
1.1.1 Сумма углов треугольника
Тема: «Сумма углов треугольника»
Цель: доказать теорему о сумме углов треугольника, добиться понимания этого факта, научить решать задачи с использованием полученных знаний.
В результате изучения данной темы учащиеся должны:
- знать формулировку и доказательство теоремы о сумме углов треугольника;
- уметь применять теорему при решении задач.
Оборудование: чертежные и измерительные инструменты: линейка, транспортир, учебник для 7 – 11 кл, Погорелов, А.В. [20].
Фрагмент урока.
1. Актуализация опорных знаний, умений и навыков.
Так как на этом уроке учащимся необходимо измерять углы, то нужно вспомнить, какая фигура называется углом, виды углов и способы их измерений. Ученикам могут быть предложены следующие задания и вопросы:
- Какая геометрическая фигура называется углом?
(Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла.)
- Назовите виды углов?
(острый, тупой, прямой)
- Укажите на рисунке 32 тупые, острые и прямые углы.
-
а б в
д е ж
Рис. 32 (а – прямой угол, б – острый, в – прямой, д – тупой, е – острый, ж – тупой)
- С помощью какого измерительного инструмента мы можем измерить угол?
(с помощью транспортира)
Сегодня на уроке мы будем измерять углы треугольника.
- Что же такое треугольник?
(Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.)
- Укажите на рисунке 33 треугольники и вид треугольника:
-
а б в
Г д
Рис. 33
(а – остроугольный треугольник, в – тупоугольный, г – прямоугольный)
2. Изучение нового материала
Ученикам предстоит выяснить, что сумма углов в треугольнике постоянна и равна 180º.
Ученикам предлагается выполнить лабораторную работу:
1) Начертить треугольник АВС.
2) Измерить углы треугольника АВС.
3) Повторить опыт 3 раза.
Данные занести в таблицу:
Таблица 4
| ÐА | ÐВ | ÐС | ÐА+ÐВ+ÐС |
| Опыт 1 | |||
| Опыт 2 | |||
| Опыт 3 |
4) Вывод: сумма углов треугольника равна ___________________________________
Таким образом, учащиеся самостоятельно пришли к формулировке теоремы о сумме углов треугольника. Обсудив вопрос о необходимости доказательства, переходят его осуществлению.
3. Первичное закрепление полученных знаний. На данном этапе ученики применяют теорему о сумме углов треугольника при решении задач следующего типа:
1) Определите углы треугольника и его вид, если один его угол равен 25°, а другой – 75°. (ответ: 25°, 75°, 80°, остроугольный)
2) В треугольнике АВС угол А в 2 раза больше угла В, а ÐС = 45°. Определите ÐА и ÐВ. (ответ: ÐА = 90°, ÐВ = 45°)
Отметим, что большинство задач решается без использования измерительных инструментов, а с помощью уравнения
° (с помощью косвенных измерений).Здесь мы использовали измерение градусной меры углов при введении нового материала как средство обнаружения математического факта.
Также непосредственные измерения могут использоваться при введении таких тем, как «Смежные и вертикальные углы». Ученики при измерении вертикальных углов убеждаются, что такие углы равны, а сумма смежных углов равна 180°. При изучении темы «Равенство треугольников» школьникам могут быть выданы модели треугольников с равенством различных элементов: равны только углы, равны два/один угол, равны стороны, равны две стороны и угол между ними и т.п. При измерении элементов треугольника ученики «отбросят» варианты, которых недостаточно для равенства двух фигур. И останется только доказать достоверность оставшихся утверждений. Учащиеся могут самостоятельно прийти к формулировке свойств равнобедренных треугольников после ряда измерений: измерение углов, сторон равнобедренного треугольника.
Помимо непосредственных измерений при введении новой темы могут быть использованы и косвенные измерения. Рассмотрим способ их применения при изучении площади трапеции. Здесь удобно использовать именно косвенные измерения, так как большинство формул, связанных с площадями, ученикам уже известны: это и площадь треугольника, и площадь квадрата, параллелограмма.
1.1.2 Площадь трапеции
Тема: «Площадь трапеции»
Цель: сформулировать и доказать теорему о площади трапеции.
В результате изучения данной темы учащиеся должны:
- знать формулировку и доказательство теоремы о площади трапеции;
- уметь применять теорему при решении задач.
Оборудование: картонные геометрические фигуры: треугольники, квадрат, прямоугольник, трапеции, параллелограмм, учебник Геометрия 7 – 9, Л.С. Атанасян и др. [7].
Фрагмент урока:
1. Актуализация опорных знаний и умений.
- Какая фигура называется трапецией?
(Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.)
Ученикам предлагаются следующие задачи:
- Укажите на рисунке 34 трапеции.
а б в
Г д
Рис. 34
(а, г - трапеции)
- Из каких фигур можно составить трапецию?
(из треугольника и параллелограмма (рис. 35, а), из треугольника и квадрата или прямоугольника (рис. 35, б), из двух трапеций (рис. 35, в), из нескольких треугольников и др.) Ученикам раздаются картонные фигуры, и они пробуют собрать из них трапецию.
а)
б)
в)
Рис. 35
- Что такое площадь, и какими свойствами она обладает?
(Площадь многоугольника – это положительное число, которое показывает сколько раз единица измерения и ее части укладываются в данном многоугольнике.)
Свойства:
- Равные многоугольники имеют равные площади.
- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.)