Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов (стр. 9 из 14)
2. Введение нового материала.
После того, как ученики поняли, что трапецию можно разбить на несколько фигур, площади которых они могут найти, основываясь на известных им свойствах площадей, школьники найдут и площадь трапеции. Рассматривается задача: известно, что высота трапеции BH = 4 см, ВС = 8 см, AD = 16 см. Найти площадь трапеции.
Рис. 36
Учитель поясняет, что данную трапецию можно разбить на две фигуры: треугольник и параллелограмм (рис. 36), площади которых мы уже умеем находить. Таким образом, площадь трапеции АВСD равна сумме площадей треугольника и параллелограмма.
Ученикам предлагается самостоятельно решить эту задачу.
Решение:
1. Построим отрезок BF, параллельный отрезку CD.
2. Четырехугольник BCDF является параллелограммом, так как BC || FD (ABCD – трапеция, AD || BC) и BF || CD – по построению.
3. Найдем площадь параллелограмма BCDF: BC = FD = 8. BH = 4 – высота параллелограмма (так как BH – высота трапеции, то BH | ВС). S = BH*BC = 4*8=32
4. Найдем площадь треугольника ABF: BH – высота, AF – основание: BH = 4 cм, AF = AD – FD = 16 – 8 = 8 (cм). S =
(см2).5. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольника и параллелограмма: Sтрап=Sпар+Sтр = 32+16 = 48 (см2).
Ответ: 48 см2)
После рассмотрения частного случая можно перейти к рассмотрению общего случая нахождения площади трапеции. Учитель задает школьникам вопрос:
- Любую ли трапецию можно разбить на треугольник и параллелограмм, как?
(да, нужно провести через одну из ее вершин прямую параллельную одному из боковых ребер, тогда эта прямая разобьет трапецию на параллелограмм и треугольник)
Итак, нам дана трапеция с основаниями AD = b, BC = a, высотой BH = h. Нужно найти площадь этой трапеции. Учащиеся уже ознакомлены с алгоритмом решения такой задачи:
1. Провести через одну из вершин трапеции прямую параллельную одному из боковых ребер, тогда эта прямая разобьет трапецию на параллелограмм и треугольник.
2. Найти площадь полученного параллелограмма:
.3. Найти площадь полученного треугольника:
4. Сложитьрезультаты:
Таким образом, ученики самостоятельно доказали и сформулировали теорему.
В этом случае косвенные измерения площадей треугольника и параллелограмма помогли при доказательстве теоремы. Косвенные измерения могут быть использованы при введении тем: Теорема Пифагора (доказательство этой теоремы происходит с помощью косвенных измерений – вычислений площадей треугольника и квадрата), признаки подобия, площадь круга и многое другое. Использовать именно косвенные измерения удобно при изучении тем, связанных с площадями, где можно применять уже известные формулы, к тому же непосредственное измерение площадей затрудняется в связи с неточностью измерительных инструментов (палетка). Эти недостатки исчезают при использовании информационных измерений, то есть измерений геометрических величин с помощью технических средств. Заметим, что они могут быть заменены и непосредственными и косвенными, так как компьютер выполняет лишь роль вычислителя. Информационные «измерения» могут быть использованы при введении многих тем: обнаружения фактов, доказательстве теорем. Рассмотрим использование такого вида измерений при введении формулы длины окружности.
1.1.3 Длина окружности
Тема: «Длина окружности»
Цели: вывести формулу для нахождения длины окружности.
В результате изучения данной темы учащиеся должны:
- знать формулу для нахождения длины окружности и ее вывод;
- уметь применять полученные знания при решении задач.
Оборудование: компьютер, приложение «Живая математика» [33], учебник Геометрия 7 – 9, Л.С. Атанасян и др. [7].
Фрагмент урока.
1. Актуализация опорных знаний.
Прежде чем перейти к выводу формулы для нахождения длины окружности необходимо вспомнить, какая фигура называется окружностью.
(Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки)
2. Введение нового материала.
Учащимся необходимо выполнить работу исследовательского характера, с целью определения формулы для нахождения длины окружности.
Им предлагается с помощью программы Живая геометрия провести ряд измерений и заполнить таблицу:
Таблица 5
| Длина окружности – C, см | Радиус окружности – R, см |  |
| Измерение 1 | ||
| ………….. |
1. Запустить приложение Живая геометрия.
2. Выбрать элемент Циркуль, расположенный на панели инструментов:
3. С помощью выбранного инструмента начертить окружность.
4. Выполнить команду: Измерения – Длина окружности.
На экране появится поле, в котором будет отображаться длина начерченной окружности.
5. Выбрать элемент Линейка:
6. С помощью выбранного инструмента соединить центр окружности с точкой, лежащей на окружности.
7. Выполнить команду Измерения – Длина.
На экране появится поле, в котором указана длина отрезка, являющимся радиусом (рис. 37).
Рис. 37
8. Провести подобные измерения пять раз.
После заполнения таблицы учащиеся замечают, что в четвертом столбце у них получается примерно одно и тоже число, то есть чтобы найти длину окружности необходимо знать радиус окружности. Длина окружности равна удвоенному произведению радиуса окружности на полученное школьниками число.
Затем учитель поясняет, что число
обозначается p (число «пи»), которое приближенно равно 3,14.Затем учитель рассказывает историю открытия числа p.
Также можно объединить несколько видов измерений, так появляется косвенное и непосредственное измерение, то есть измерения, где нужно применять и умения использовать измерительные инструменты и знания различных формул. Рассмотрим применение таких измерений при введении темы «Теорема Пифагора».
1.1.4 Теорема Пифагора
Тема: «Теорема Пифагора»
Цель: сформулировать и доказать теорему Пифагора.
В результате изучения данной темы учащиеся должны:
- знать формулировку теоремы Пифагора и ее доказательство;
- уметь применять полученные знания при решении задач.
Оборудование: чертежные и измерительные инструменты: линейка, транспортир, учебник для 7 – 11 кл, Погорелов, А.В. [20].
Фрагмент урока.
1. Актуализация опорных знаний.
Учитель предлагает ученикам вопросы и задания для выполнения, позволяющие вспомнить необходимые для усвоения нового материала факты.
- Что такое треугольник?
(Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.)
- Как называется треугольник, если у него все углы острые? (если один из углов тупой, прямой?)
(остроугольный, тупоугольный, прямоугольный)
2. Введение нового материала.
Учитель предлагает школьникам высказать предположения о справедливости следующей формулы: с2 = а2 + b2, где а и b – катеты прямоугольного треугольника, с – гипотенуза треугольника.
Ученикам выдаются модели прямоугольных треугольников.
Затем им предлагается провести измерения длин катетов прямоугольного треугольника и его гипотенузы и заполнить таблицу:
Таблица 6
| а | b | c | а2 | b2 | а2 + b2 | с2 |
Таким образом, ученики убедятся в истинности предположения, и уже после этого можно перейти к доказательству этого утверждения.
1.2 Использование измерений при решении задач
Еще одно направление использования измерений в геометрии, которое мы рассмотрим – это использование измерений при решении задач.
Часто решая какую-либо задачу, ученик сталкивается с рядом проблем: не знает с чего начать рассуждения, от чего отталкиваться и др. В таком случае может помочь непосредственное измерение. Школьник строит необходимый чертеж и измеряет элементы фигур, пытаясь найти какую-либо связь, зависимость между исходными данными и получаемыми результатами. Это помогает ученику найти способ решения задачи.
Пример 5. Дан треугольник АВС. Сторона АС равна 6 см. Высота, проведенная к АС, равна
см см. Высота, проведенная к АВ, равна 3 см. ÐС треугольника АВС равен 30°. Найти ÐА (рис. 38). 
Рис. 38
При решении такой задачи дети могут не сразу догадаться, как же ее решить, им может потребоваться некоторая наводка. Они могут получить эту подсказку, если точно выполнят чертеж к задаче и найдут связь между исходными данными и неизвестными.
Дано:
∆АВС,
АС = 6 см,
ВМ =
см – высота ∆АВС,СН = 3
см – высота ∆АВС,