Ответ: х = а - 7, х ≠ -7 ⇒ а ≠ 0.
3. Решить уравнение при всех значениях параметра.
b - 8 + 2x = 2b (Выяснить, при каких значениях параметра корень уравнения не равен 4,5)
Ответ:
4. При каких значениях параметра а уравнение (а2- 6а + 5) = а - 1 имеет
1) один корень;
2) ни одного корня;
3) бесконечно много корней?
Ответ: 1) а ≠ 1; а ≠ 5;
2) а = 5;
3) а = 1.
Решить уравнения при всех значениях параметра (№5 - 11).
5. (2 - х)а = х + 1.
Ответ: а ≠ -1 ⇒x = (2a - 1)/(1+a).
6. (а2- 1)х = а + 1.
Ответ: а ≠ 1 ⇒ х = 1/(а - 1).
7.
Ответ: если а = 1 ⇒∅;
если а ≠ 1 ⇒ х = а.
8.
Ответ: если а = -2 ⇒∅;
если а ≠ -2 ⇒x = 2.
9.
Ответ: а ≠ -2 ⇒ х = (а + 8)/3.
10.
Ответ: а ≠ -2 ⇒ х = 6/(4 - а).
11*.
Ответ: если а = 0 ⇒R\{2};
если а = 1 ⇒R\{2};
если а ≠ 0, а ≠ 1 ⇒∅.
Линейные уравнения с модулем.
Решить уравнение при всех значениях параметра (№1 - 6).
1. |x + a| = 2.
Ответ:
x = -a ± 2.
2. |x + 2| = a.
Ответ:
a < 0 ⇒∅;
a = 0 ⇒ x = -2;
a > 0 ⇒ x = -2 ± a.
3. |x + a| = 2 - а.
Ответ:
a > 2 ⇒∅;
а = 2 ⇒ х = -2;
4*. |3x - c| = |x + 2|.
Ответ:
с = -6 ⇒x = -2;
c ≠ -6 ⇒x1 = 0,5(c + 2), x2 = 0,25(c - 2).
5*. |x + 3| - a|x - 1| = 4.
Ответ:
a ∈ (-1; 1) ⇒x1 = 1, x2 = (a + 7)/(a - 1);
a = 1 ⇒x1≥ 1;
a > 1 ⇒x = 1.
6*. |x - a| + |x - 2a| = 3a
Ответ:
a < 0 ⇒∅;
a = 0 ⇒ x = 0;
a > 0 ⇒ x1 = 3a, x2 = 0.
7. При каких значениях параметра а уравнение x + 2 = a|x - 2| имеет единственный корень? Найти это решение.
Ответ: a∈ (-1; 1] ⇒x = (a - 2)/(a + 1).
(Возможен графический способ решения).
8. При каких значениях параметра b уравнение b|x - 3| = x + 1 имеет единственное решения? Найти это решение.
Ответ: b∈ (-1; 1] ⇒x = (3b - 1)/(b + 1).
(Возможен графический метод решения).
9*. Выяснить, сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение
| x + 2 | = ax + 1.
Ответ: а = 0,5 ⇒
a∈ (0,5; 1] ⇒∅;
а∈ (1; +∞] ⇒ 1.
При каких значениях параметра а уравнение | x - a | - | 2x + 2 | = 3 имеет единственное решение? Найти это решение.
Ответ: a = -4, a = 2⇒x = -1.
11*. При каких значениях параетра а уравнение | 2x + a | + 1 = | x + 3| имеет единственное решение?
Ответ: {-8; -4}.
12*. При всех а решить уравнение | x + 3 | - a| x - 1 | = 4. Определить, при каких а оно имеет ровно два решения.
Ответ: (1; +∞) при а = 1;
[-3; 1] при а = -1;
при а ∈ (-1; 1);
{1} при а∈ (-∞; -1) ∪ (1; + ∞).
13*. Сколько решений имеет уравнение ax = |x| в зависимости от параметра?
Ответ:
а ≠ ±1 ⇒ х = 0;
а = 1 ⇒ х ∈ [0; +∞);
a = -1 ⇒ х ∈ (-∞; 0].
Линейные неравенства
1. Сравнить 3a и -а.
Ответ:
a < 0 ⇒ 3a < -a;
a = 0 ⇒ 3a = -a;
a > 0 ⇒ 3a > -a.
Для каждого значения параметра решить неравенство (№2 - 8).
2. cx > 2.
Ответ: с < 0 ⇒x < 2/c;
a = 0 ⇒∅;
c > 0 ⇒x > 2/c.
3. cx > -3.
Ответ: c < 0 ⇒x < -3/c;
c = 0 ⇒x∈R;
c > 0 ⇒x > -3/c.
4. cx ≤ 2.
Ответ: c < 0 ⇒x ≥ 2/c;
c = 0 ⇒x∈R;
c > 0 ⇒x ≤ 2/c.
5. (c - 2)x ≤ -5.
Ответ: с < 2 ⇒x ≥ 5/(2 - c);
c = 2 ⇒∅;
c > 2 ⇒x ≤ 5/(2 - c).
6. 3(2a - x) < ax + 1.
Ответ: с < 2 ⇒x ≥ 5/(2 - c);
c = 2 ⇒∅;
c > 2 ⇒x ≤ 5/(2 - c).
7*.
Ответ: b < 3 ⇒x∈((2b+1)/(b -1); 2);
b = 3 ⇒∅;
b > 3 ⇒x∈(2; (2b + 1)/(b - 1)).
Линейные неравенства с модулем
1*. | x - 3a | - | x + a| < 2a.
Ответ: a ∈ (-∞; 0) ⇒ x ∈(-∞; 2a);
a = 0 ⇒∅;
a ∈ (0; +∞) ⇒ x ∈(0; +∞).
2*. | x + 2| - | 2x + 8 | ≥ a.
Ответ: a < -4 ⇒ x ∈[a - 6; -a - 6];
a∈[-4; 2) ⇒x∈ [a - 6; -a - 6];
a > 2 ⇒x∈∅;
a = 2 ⇒x = -4.
Квадратные уравнения
1*. Для 0 < a < 1/4 решить уравнение:
Ответ:
2*. Найдите наибольшее из значений параметра, для которого существуют числа х и у, удовлетворяющие уравнению
Ответ:
3. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения
4x2- 28x + a = 0 равна 22,5?
Ответ: таких а не существует.
4. Найти все значения параметра а, для которых уравнение
x2- 2(a - 1)x + (2a + 1) = 0 имеет два положительных корня.
Ответ: a∈ [4; +∞).
5. Найти все а, при которых оба корня уравнения (2a + 3)x2+ (a + 1)x + 4 = 0 заключены между -2 и 0.
Ответ:
6. При каких положительных значениях параметра а можно сократить дробь ?
Ответ: а = 4.
7. Решить уравнение:
(а - 1)x2 + 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0.
Ответ: если а < -4/5, то корней нет,
если а = 1, то х = -7/6,
если а ≥ -4/5,а ≠ 1, то
8. Решить уравнение
Ответ: если а = -1/3, то х = -2/3,
если а = 3/2, то х = -5/2,
если а = -4, то х = -8,
если а ≠ -1/3, 3/2, -4, то х1 = 2а, х2 = -а-1.
9. Решить уравнение:
Ответ: если a = 3, то х = -3,
если а = -3, то х =3,
если а ≠ ±3, то х1 = 3, х2 = -3.
10. Решить уравнение:
Ответ: если а = 1, а = 3,5, а = -1,5 то нет решений,
если а ≠1, а ≠ 3,5, а ≠ -1,5, то х =5/(а-1).
Квадратные неравенства
1. При каких значениях параметра а неравенство имеет решения?
Ответ: а <
2. При каких значениях а все пары чисел (х; у) удовлетворяющие неравенству, одновременно удовлетворяют и неравенству
Ответ: a = 0.
3. Для всех а ≥ 0 решить неравенство
Ответ: при а = 0, х ≤ 3,
при 0 < a < 1/12,
при а ≥ 1/12, х ∈R.
4* При каких значениях параметра а множества решений неравенства
x2 + ax - 1 < 0 будет интервал длины 5?
Ответ:
График квадратного трехчлена
1. Какие знаки имеют параметры a, b, и с, если известно, что график функции
y = ax2 + bx + c проходит через точки (-4; 0), (0; -2), (-3; -2)?
Ответ: a > 0, b > 0, c < 0.
2. При каких значениях параметра а корни уравнения
(a - 2)x2 - 2ax + a + 3 = 0 положительны?
Ответ: a < 3, 2 ≤ a ≤ 6.
3. При каких значениях параметра а корни уравнения
(a - 2)x2 - 2ax + a + 3 = 0 меньше 3?
Ответ: a < 2, 15/4 < a ≤ 6.
4*. При каких значениях параметра а корни уравнения
(a - 2)x2 - 2ax + a + 3 = 0 заключены в интервале (1; 3)?
Ответ: а = 2, 15/4 < a ≤ 6.
Иррацирнальные уравнения
1. Решить уравнение
Ответ: х = а.
2*. Определить число корней уравнения
Ответ: если ≥ 4, то уравнение имеет единственный корень,
если < 4, то корней нет.
3. Решить уравнение
Ответ: если а < 1, то х1 = 1, х2 = а,
если а ≥ , то х = а.
4. При каких значениях параметра а уравнение имеет один корень?
Ответ: а < 0 или а = 4.
Рациональные неравенства
1. При каких значениях параметра а неравенство x2 - 2ах + 9 > 0 выполняется при всех х?
Ответ: -3 < a < 3.
2. При каких значениях параметра а неравенство
ax2 + 2(a + 1)x + 2a + 2 ≤ 0 выполняется при всех х?
Ответ: а ≤ -1.
3. При каких значениях параметра а неравентсво (x - a)(x - 2) ≤ 0 имеет единственное решение?
Ответ: а = 2.
4*. при каких значениях параметра а неравенство (x3 - 8)(a - x) ≥ 0 выполняется при всех х?
Ответ: а =2.
5*. При каких значениях параметра а в множестве решений неравенства
(1 - х)(х - а) ≥ 0 содержится пять целых чисел?
Ответ: -4 < a ≤ -3; 5 ≤ a <6.
Заключение
В данной дипломной работе была реализована намеченная цель - разработать версию обучения учащихся решению задач с параметрами в средней школе.
При написании работы были решены поставленные задачи: изучить психолого - педагогические особенности учащихся, обосновывающие целесообразность обучения умению решать задачи с параметрами, проанализировать подходящее для этого учебное пособие по математике и программу по математике с точки зрения интересующего вопроса, составить версию обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами с подборкой основных заданий разного уровня, а также продемонстрировать важность обучения учащихся таким задачам.
Анализ психолого - педагогической литературы выявил особенности развития высших психических функций учащихся среднего школьного возраста.
Было установлено, что задачи с параметрами обладают большим потенциалом в развитии интеллектуальных качеств личности, так как развивают исследовательские способности, учат творчески мыслить, помогают сформировать и развить творческое мышление. Понимая, какое важное значение задачи с параметрами играют в развитии учащихся, и учитывая потенциальные возможности учеников среднего школьного возраста, был сделан вывод, что задачи с параметрами должны включаться в школьный курс математики, начиная с 7 класса. Конечно, уровень сложности предполагаемых заданий должен определяться уровнем подготовки всего класса в целом и каждого ученика в отдельности.
Анализ учебной литературы выявил существенные недостатки в обучении решению задач с параметрами: в общеобразовательных классах данной теме, как правило, уделяется очень мало внимания, изучение очень поверхностное; в математических классах предполагается более глубокое изучение темы, но отсутствуют точные определения рассматриваемых объектов.
В работе выделены задания для проведения отдельных дополнительных занятий, для отстающих и для сильных учеников.
Основной вывод работы - задачи с параметрами должны составлять самостоятельную линию школьного курса математики.
Библиография
Алгебра 7 кл. [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, и др.- М.: Просвещение, Московские учебники, 2000.
Алгебра 8 кл. [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, и др.- М.: Просвещение, Московские учебники, 2001.
Алгебра 9 кл. [Текст] / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, и др.- М.: Просвещение, Московские учебники, 2002.
Алгебра 7 кл. [Текст] : Учебник / под ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2003.
Алгебра 8 кл. [Текст] : Учебник / под ред. С.А. Теляковского.-М.: Просвещение, 2003.
Алгебра 9 кл. [Текст] : Учебник / под ред. С.А. Теляковского.- М.: Просвещение, 2003.
Алимов, Ш.А., Алгебра 8 [Текст] / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров.- М.: Просвещение, 2000.
Алимов, Ш.А. Алгебра 9 [Текст] / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров.- М.: Просвещение, 2000.