Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим способом (стр. 10 из 13)
№509
Прочитайте задачу. Постарайтесь найти разные способы решения.
В двух коробках 16 кг печенья. Найдите массу печенья в каждой коробке, если в одной из них печенья на 4 кг больше, чем в другой.
Проверьте так ли вы решали задачу:
1 способ.
Если из первой коробки достать 4 кг печенья, то в обеих коробках печенья станет поровну, а всего останется 16-4=12 кг – печенья. Тогда в каждой коробке будет 12÷2=6 кг печенья. Но это как раз та масса печенья, которая была во второй коробке: 6+4=10 кг.
Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.
2 способ.
Если во вторую коробку добавить 4 кг печенья, то в обеих коробках печенья станет поровну, а всего в двух коробках станет 16+4=20 кг печенья. Тогда в каждой коробке станет 20÷2=10 кг печенья. Но это как раз та масса печенья, которая была в первой коробке. Теперь можем узнать массу печенья во второй коробке: 10-4=6кг.
Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.
3 способ.
Обозначим массу печенья во второй коробке буквой x кг.
Тогда масса печенья в первой коробке будет равна (x+4) кг, а масса печенья в двух коробках – ((x+4)+x) кг.
Но, по условию задачи, в двух коробках было 16 кг печенья. Значит, можем составить уравнение
(x+4)+x=16.
Решив его получаем x=6.
Итак, мы получили, что во второй коробке было 6 кг печенья, значит, в первой было 6+4=10 кг печенья.
Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.
4 способ.
Обозначим массу печенья в первой коробке буквой x кг.
Тогда масса печенья во второй коробке будет равна (x-4) кг, а масса печенья в двух коробках – (x+(x-4)) кг.
По условию задачи, в двух коробках было 16 кг печенья. Составим уравнение
x+(x-4)=16.
Отсюда x=10.
Итак, мы получили, что в первой коробке было 10 кг печенья, значит, во второй было 10-4=6 кг печенья.
Ответ: масса печенья в первой коробке – 10 кг, а во второй – 6 кг.
3 и 4 способы решения задачи – это один и тот же способ: алгебраический. Решая задачу алгебраическим способом, обозначают неизвестную величину буквой, составляют уравнение по условию задачи и решают его.
№510.
С трех участков земли собрали 156 ц картофеля. С первого и второго участков картофеля собрали поровну, а с третьего – на ц больше, чем с каждого из первых двух. Сколько картофеля собрали с каждого участка?
| 1 поле |  |
| 2 поле | |
| 3 поле | 2 ц |
Всего 156 ц
1 способ.
Если на двух первых полях количество собранного картофеля одинаковое, на третьем на 12 ц больше, то мы можем из общей суммы 156 ц вычесть 12ц, чтобы получить количество картофеля на трех полях 156-12=144 ц картофеля на трех полях. А теперь мы можем 144÷3=48 ц картофеля собрали с первого и второго поля, а с третьего поля собрали 48+12=60 ц картофеля.
Ответ: с первого и второго поля собрали по 48 ц картофеля, а с третьего поля собрали 60 ц картофеля.
2 способ.
Обозначим количество картофеля собранного с первого поля буквой x ц. Тогда со второго собрали тоже x ц картофеля, а с третьего поля собрали картофеля на 12 больше, значит обозначим (x+12) ц. Количество собранного картофеля с трех полей x+x+(x+12).
По условию задачи с трех полей собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение
x+x+(x+12)=156.
Отсюда 3x=144, а x =48.
Итак, мы получили, что с первого и второго полей собрали по 48 ц картофеля, а с третьего 48+12=60 ц картофеля.
Ответ: с первого и второго поля собрали по 48 ц картофеля, а с третьего поля собрали 60 ц картофеля.
В следующих задачах уровень сложности повышается.
№544.
1) Решите задачу.
На первом элеваторе зерна в три раза больше, чем на втором. Если с первого элеватора вывезти 850 т, а со второго – 150 т, то на обоих элеваторах зерна останется поровну. Какое количество зерна было на первом элеваторе?
Если вы догадались составить к задаче такую схему, то возможно, вы смогли решить ее устно:
| 1 элеватор |  | 850 |
| 2 элеватор |  150 |
850-150=600 т зерна в двух частях 1 элеватора;
600÷2=300 т зерна на втором элеваторе;
600+300=900 т зерна на первом элеваторе.
2) Обозначьте буквой x количество зерна на втором элеваторе. Подумайте, для каких величин можно составить выражения с этой буквой, и запишите их.
3) составьте математическую модель задачи
Пусть х – количество зерна на втором элеваторе, тогда 3х – количество зерна на первом элеваторе.
Если с первого вывезли 850 т зерна (3х-850), а со второго вывезли 150 т (х-150), то в обоих элеваторах зерна останется поровну, тогда получаем 3х-850=х-150.
Это уравнение учащиеся решить не могут, но такая задача перед ними и не ставиться, еще раз подчеркнем, что в 5 классе, главная задача научить составлять математические модели. Работать с математическими моделями они будут в следующих классах.
Следующие задачи авторы учебника предлагают решить двумя способами: арифметическим и алгебраическим. Если будут затруднения с решением уравнения, подставьте в него найденный арифметическим способом результат и проверьте справедливость составленного вами равенства. В 6-м классе дети познакомятся с методом, который позволит без труда решить все составленные ими уравнения.
№636.
Стоимость автомобиля с гаражом составляет 355600р. Сколько стоит автомобиль, если он на 97300р дороже удвоенной стоимости гаража?
Первый способ.
| автомобиль | 97300 р. |
| гараж |
Вся стоимость автомобиля с гаражом 355600р.
1) 355600–97300=258300 р. цена трех гаражей;
2) 258300÷3=86100 р. стоимость гаража;
3) 355600–86100=269500 р. стоимость машины.
Ответ: стоимость автомобиля 269500 р.
2 способ.
Пусть стоимость гаража – х рублей, тогда стоимость машины – (2х+97300) р. Стоимость гаража и автомобиля вместе составляет 355600 р.
Составим уравнение:
х+2х+97300=355600,
3х=258300,
х=86100 р. – стоимость гаража, тогда стоимость автомобиля 86100×2+97300=269500р.
Ответ: стоимость автомобиля 269500 р.
№637.
В двух кусках поровну ткани. После того как от первого куска продали 14 м, а от второго – 22 м, в первом куске осталось втрое больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани было в каждом куске первоначально?
Решение:
1 способ.
14 м
| 1 кусок |
| 2 кусок |
22 м
| 1 кусок |
| 2 кусок |
Нам известно, что ткани первоначально было поровну, затем от 1 куска отрезали 14 м, а от 2ого – 22 м, и тогда в первом куске осталось втрое больше, чем во втором. Поэтому если мы из 22 вычтем 14, то получим 8 м, а это составляет 2 одинаковых части в первом куске, значит если 8÷2=4 м осталось во втором куске, после того как от него отрезали 22 м. Значит первоначально в нем было 26 м. Можно проверить, посчитав сколько было м в первом куске: 4×3=12 м осталось в первом куске после того, как от него отрезали 14 м, и для того, чтобы найти, сколько было мы должны 14+12=26 м было в первом куске первоначально.
Ответ: первоначально в каждом куске ткани было 26 м
2 способ.
Пусть во втором осталось х м ткани, тогда в первом осталось 3х м ткани.
Мы знаем, что от первого куска отрезали 14 м, а от второго – 22 метра, тогда в 1 куске было (3х+14) м ткани, а во втором было – (х+22) м ткани.
В условии сказано, что ткани изначально было поровну, значит можем составить уравнение:
1) 3х+14=х+22,
2х=8,
х=4 м ткани осталось во втором куске,
2) 4×3=12 м ткани осталось в первом куске,
3) 4+22=26 м было в первом куске изначально.
Мы знаем, что в первом и втором кусках ткани было поровну, следовательно, и во втором куске было 26 м ткани.
Ответ: первоначально в каждом куске ткани было 26 м
№638.
У двоих братьев было вместе 112р. После того как старший отдал младшему 14 р., у него осталось все же денег больше, чем у младшего, но всего лишь на 10 р.Сколько денег было у каждого мальчика первоначально?
Решение:
1 способ.
10р. 14р.
| 1 брат |
| 2 брат |
14р.
Всего у двух братьев 112 р.
10р.
| 1 брат |
| 2 брат |
14р
1) 112-24=88 р у двух мальчиков, после того как 1ый отдал 2ому – 14 р, и если у 1ого забрать 10 р.
2) 88÷2=44 р. стало у 2ого мальчика, когда 1ый отдал ему 14 р.,
3) 44-14=30 р. было у 2ого мальчика первоначально,
4) 44+10+14=68 р. было у первого мальчика вначале.
Ответ: у первого брата было 68 р., а у второго – 30 р.
6 класс.
§20.
В 6 классе после того как дети познакомились с действиями над положительными и отрицательными числами, научились решать уравнения, можно приступать к решению задач выделением трех этапов математического моделирования. Но решать с шестиклассниками задачи таким способом без предварительной подготовки преждевременно. Поэтому решение каждой такой задачи следует предварять специальной системой упражнений.
Например, №593.
В одном бидоне x л, а в другом – y л молока.
а) что означают выражения
?б) что означают равенства
?Эта задача предварительного этапа, затем следует задача №594:
В одном бидоне молока в 3 раза больше, чем в другом. когда из одного бидона перелили в другой 5 литров, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров было в каждом бидоне первоначально?
Решите задачу алгебраическим способом.
Решение.
Пусть x л – количество молока, которое было до переливания во втором бидоне. Тогда в первом бидоне его было 3x л.
После переливания в первом бидоне осталось (3x-5) л молока, а во втором стало (x+5) л.