Методика обучения решению текстовых задач алгебраическим способом (стр. 4 из 13)

лодка 6ч А В

плот лодка 8 ч

3. Поиск способа решения задачи. Нужно найти время, за которое плот проплывет расстояние между пристанями А и В. Для того чтобы найти это время, надо знать расстояние АВ и скорость течения реки. Оба они известны, поэтому обозначим расстояние АВ буквой

(км), а скорость течения реки примем равной км/ч. Чтобы связать эти неизвестные с данными задачи (время движения лодки по и против течения реки), нужно еще знать собственную скорость лодки. Она тоже неизвестна, положим, что она равна км/ч. Отсюда естественно возникает план решения, заключающийся в том, чтобы составить систему уравнений относительно введенных неизвестных.

4. Осуществление решения задачи. Итак, пусть расстояние АВ равно sкм, скорость течения реки

км/ч, собственная скорость лодки км/ч, а искомое время движения плота на пути в км равно часов.

Тогда скорость лодки по течению реки равна

км/ч. За 6 ч лодка, идя с этой скоростью, прошла путь АВ в км. Следовательно.

(1)

Против течения эта лодка идет со скоростью

км/ч и путь АВ в км она проходит за 8 ч, поэтому

(2)

Наконец, плот, двигаясь со скоростью

км/ч, покрыл расстояние км за ч, следовательно,

(3)

Уравнения (1), (2) и (3) образуют систему уравнений относительно неизвестных

и . Так как требуется найти лишь , то остальные неизвестные постараемся исключить.

Для этого из уравнений (1) и (2) найдем

.

Вычитая из первого уравнения второе, получим:

решение задача текстовый алгебраический

, отсюда .

Поставим найденное выражение для

в уравнение (3)

.

Так как, очевидно,

не равно нулю, то можно обе части полученного уравнения разделить на . Тогда найдем: .

5. Проверка решения. Итак, мы нашли, что плот проплывает расстояние между пристанями за 48 ч. Следовательно, его скорость, равная скорости течения реки, равна

км/ч. Скорость же лодки по течению равна км/ч, а против течения км/ч. Для того чтобы убедиться в правильности решения, достаточно проверить, будут ли равны собственные скорости лодки, найденные двумя способами:

1) от скорости лодки по течению отнять скорость течения реки, т.е.

,

2) к скорости лодки против течения реки прибавить скорость течения реки, т.е.

.

Произведя вычисления, получаем верное равенство:

.

Значит, задача решена правильно.

6. Исследование задачи. В данном случае этот этап решения не нужен.

7. Ответ: плот проплывет расстояние между пристанями за 48 ч.

8. Анализ решения. Мы свели решение этой задачи к решению системы трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако найти-то надо было нам лишь одно из этих неизвестных. Поэтому, естественно, возникает мысль, что проведенное решение не самое удачное, хотя и достаточно простое. Можно предложить другое решение.

Зная, что лодка проплыла расстояние АВ по течению реки за 6 ч, а против – за 8 ч, найдем, что в 1 ч лодка, идя по течению, проходит

часть этого расстояния, а против течения . Тогда разность между ними есть удвоенная часть расстояния АВ, проплываемая плотом за 1 ч. Значит, плот за 1 ч проплывет часть расстояния АВ, следовательно, все расстояние АВ он проплывет за 48 ч.

Как видим, при таком решении нам не понадобилось составлять систему уравнений. Однако, несомненно, это решение сложнее приведенного выше, хотя бы потому, что не всякий догадается найти разность скоростей лодки по течению и против течения реки. Часто также эту разность принимают не за удвоенную часть расстояния АВ, проплываемую плотом за 1 ч, а за скорость плота, что, конечно, приводит к ошибочному результату.

Как мы уже знаем, решение задачи состоит из последовательности шагов (действий). Поэтому отыскание этой последовательности шагов есть самое главное, что нужно сделать для того, чтобы решить задачу.

Вот этим и занимается математика, установлением для многих видов задач правил, пользуясь которыми можно найти указанную последовательность шагов для решения любой задачи.

Приведем некоторые такие правила.

1. Словесное правило. Примером такого правила может служить правило нахождения степени произведения, которое изучается в 6 классе: степень произведения равна произведению степеней сомножителей.

Это правило позволяет составить такую последовательность шагов: 1) установить все сомножители произведения; 2) найти данную степень каждого из этих сомножителей; 3) результаты второго шага перемножить.

2. Правило-формула. Примером такого правила служит формула корней квадратного уравнения. В курсе алгебры 7 класса эта формула дается в таком виде: корни уравнения

, если и , где , можно вычислить по формуле .

В этом правиле легко указать последовательность шагов на основе указанного правила-формулы: 1)проверим условие:

; 3) находим: ; 3) проверяем условие ; если эти условия выполнены, то вычисляем корни по формуле .

3. Правило-тождество. Примером такого правила может служить тождество квадрата двучлена, которое изучается в 6 классе:

.

Словесная формулировка этого тождество такова: квадрат двучлена равен сумме квадрата первого члена на удвоенное произведение первого и второго членов и квадрата второго члена.

В соответствии с этим тождеством можно составить такую последовательность шагов: 1) найти первый член двучлена; 2) найти второй член двучлена; 3) возвести первый член в квадрат; 4) возвести второй член двучлена в квадрат; 5) составить произведение первого и второго членов двучлена; 6) результат пятого шага удвоить; 7) результаты 3, 4, и 6-го шагов сложить.

4. Правило-теорема. Многие теоремы могут служить правилами для решения задач соответствующего вида. Например, теорема: средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, и длина ее равна полусумме длин оснований, изучается в курсе геометрии в 7классе. Последовательность шагов очень простая: 1) устанавливаем длину основания трапеции; 2) находим их полусумму. Это и будет длина средней линии.