Решение задач на экстремум (стр. 14 из 16)

Надо найти наименьшее значение суммы трех положительных слагаемых

+ + 2πR2, произведение которых ∙ 2πR2= 2πV2 неизменно при данном постоянном значении V. Поэтому Sдостигает тогда и только тогда, когда =2πR2, т.е. когда =2πR3.

H=

= =2R.

Задача 2.

Найти наименьшее значение функции у =

на интервале (13/6 π ; 17/6 π).

Решение.

у =

=2sinx + 1+ =2 sinx – 1+ +2.

По условию, 13/6 π < x < 17/6 π , т.е.

+ 2π < x < + 2π, откуда

sinx > ½.

Y = 2sinx - 1 +

+2 ≥ 2 +2 =4.

Таким образом, у ≥ 4, причем знак равенства достигается тогда и только тогда , когда

C учетом того, что 13/6 π < x < 17/6 π, получим х =

miny= 4.

Задача 3.

Найти наименьшее значение функции

y=| x2 – x| + |x + 1|.

Решение.

y=| x2 – x| + |x + 1|≥ |x2 – x + x +1| =|x2 + 1| = x2 + 1≥ 1.

Таким образом, у≥1, причем знак равенства достигается только в том случае, когда одновременно выполнены равенства

| x2 – x| + |x + 1| = |x2 + 1| и x2 + 1=1, откуда x=0.

miny(x) = y(0) =1.

Занятие 5

Тема: «Универсальный метод решения задач на экстремумы».

Тип: Комбинированный урок.

Цели:

Обучающая: отработка и совершенствование навыков решения экстремальных задач с помощью производной, обобщить материал по теме «Решение экстремальных задач».

Развивающая: развитие волевых качеств, воспитание желание самосовершенствования, развитие навыков самостоятельной работы.

Воспитательная: воспитание интереса к математике, воспитание эмоционально-положительной направленности на практическую деятельность.

Задачи: повторить методику решения задач на максимум и минимум с помощью производной, прорешать основные типы задач на использование этого метода.

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

План урока

Содержание	Методы и приемы	Время
1. Орг. моментСообщение цели урока	Инструктаж учителя	7 мин
2. Изучение нового материала1.Суть метода.2. Пример решениязадачи с помощьюдифференцирования.	Лекция (объяснительно-иллюстра–тивный с элементамипроблемного изложения)Учащиеся конспектируют, задают вопросы.	16 мин
3.Закрепление пройденного материала.	Учитель предлагает учащимся задачи для самостоятельного решения. Учащиеся самостоятельно решают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый)	31 мин
4. Подведение итогов	беседа	2 мин
5. Запись домашнего задания	Инструкция учителя(репродуктивный)	4 мин

Ход урока:

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
I. Орг. момент. Здравствуйте, садитесь. На протяжении нескольких занятий мы с вами решаем экстремальные задачи. Мы рассмотрели довольно много задач на нахождение экстремумов. Те приемы, которыми мы решали эти задачи, оказались весьма разнообразными и порой довольно искусственными. Дело обстоит так, что почти для каждой задачи на экстремум приходилось «изобретать» подходящий для нее прием. Возникает поэтому вопрос: а нет ли достаточно общего приема решения задач на экстремумы? Такой прием есть. Его дает математический анализ.	Садятся. Слушают учителя, отвечают на его вопросы.
II. Лекция. 1. Суть метода.Общий прием решения задач на экстремум опирается на теорему Ферма.Если функция у = f(х) (имеющая локальную производную) при х = х0 принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0.Геометрически это означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке его параллельна оси х-ов.Чему же учит нас теорема Ферма? Она учит нас тому, что значения аргумента, при которых данная функция f(x) имеет локальные минимумы, следует искать среди корней уравнения f '(x) = 0. Она выражает необходимое условие экстремума:Для того чтобы функция (имеющая производную) имела при х = х0 максимум или минимум, необходимо, чтобы производная при этом значении х была равна 0.Необходимо, но не достаточно! Производная может быть равна 0, и все же при этом значении х функция экстремума может и не иметь. Так, например, производная функции у = х3 (у' = 3х2) при х = 0 обращается в 0, но эта функция при х = 0 экстремума не имеет (рис.2). Значит, уравнение f '(х) = 0 дает лишь «подозрительные» на экстремум значения х.Как же из этих «подозрительных» значений выделить те, при которых рассматриваемая функция действительно имеет экстремумы?Как для выделенных значений установить вид экстремума?По этим вопросам мы ограничимся соображениями, источником которых является наглядность. Рассмотрим рисунок, на котором изображены максимум и минимум функции у = f(x). По этому рисунку установим, какие по знаку значения принимает производная функция f '(x) для значений х, достаточно близких к х0, меньших и больших его. Если при х = х0 данная функция имеет максимум, то для значений х, меньших х0, но достаточно близких к х0, производная будет положительна, а для больших- отрицательна, т.к. в первом случае касательная к графику функции образует с положительным направлением оси х-ов острый угол, а во втором- тупой.Если же при х = х0 функция принимает минимальное значение, то получается наоборот. Таким образом, будет ли «подозрительная» точка х0 точкой экстремума и, если будет, то какого именно (максимума или минимума), зависит от значений, принимаемых в достаточной близости слева и справа от точки х0 производной функцией. Все возможные случаи можно записать в следующей таблице.

Вот этой таблицей и можно пользоваться при решении задач на экстремумы.

Но можно из этой таблицы сделать новые выводы и пользоваться ими. Вот о каких выводах идет речь. В случае максимума с возрастанием х и переходом через значение х0 производная убывает, поэтому производная от этой производной(т.е. производная второго порядка) отрицательна. В случае минимума производная при переходе х через х0 возрастает, а значит, производная второго порядка положительна. Поэтому если в «подозрительной» точке х0 производная второго порядка f ''(x0) отрицательна, то в этой точке данная функция имеет максимум, если же f ''(x0) положительна, то функция принимает минимальное значение.

Чтобы проиллюстрировать рассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, рассмотрим пример.

2. Пример решения задачи.

Пример: (Задача о прямоугольнике наибольшей площади)

Из куска стекла, имеющего указанные форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.

Площадь пластины S = xy. За независимое переменное примем х(0<х≤100). Тогда из подобия треугольников АВЕ и СDЕ следует:

Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 (мм), а тогда у = 60 (мм) и S = 6000 (мм2).

Ученики конспектируют, задают вопросы

Слушают учителя, записывают решение в

тетрадь, задают возникающие вопросы.

III Закрепление пройденного материала. Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи.Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске.	Учащиеся берут карточки с заданиями и Преступают крешению задач. Если возникают трудности, они обращаются за помощью к учителю.
IV Подведение итоговИтак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их применение.Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть)	Задают вопросы, которые остались непонятными
VЗапись домашнего заданияДомашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачи своей карточки.	Записы-вают.