Решение задач на экстремум (стр. 7 из 16)
1.3 Плюсы и минусы уровневой дифференциации
Традиционные программы, учебные планы, учебники и дидактические средства, требования, методы и формы, являясь одинаковыми для всех школьников, отодвигают на задний план изучение и учет индивидуальных особенностей. Сегодня во многих школах страны уже в первом классе учащихся распределяют по классам (потокам) возрастной нормы, ускоренного обучения, повышенного индивидуального внимания, коррекции, выравнивания. Правда, такой подход, особенно ранняя дифференциация, вызывает немало нареканий. Считают, что разделение на потоки вызывает снобизм у сильных учащихся и чувство неуверенности и собственной неполноценности у слабых. Жесткая дифференциация учащихся на способных, средних и слабых с последующим длительным пребыванием в разных по содержанию и методам обучения классах, имеет не только плюсы, но и существенные минусы.
Смысл уровневой дифференциации заключается в том, чтобы адаптировать учебный процесс к познавательным возможностям каждого ученика, предъявить соответствующие уровню его развития требования, программы, учебники, методы и формы обучения. Почти каждый ребенок идет в школу с большим желанием учиться, однако очень скоро у значительной части школьников это желание пропадает, учеба превращается в тяжелую повинность. Причина очевидна: им предложены такие условия обучения и предъявлены такие требования, которые превышают уровень их развития. Этого можно избежать, если с первых школьных лет каждый ребенок окажется в однородной среде, в которой он чувствует себя комфортно, а учеба сопровождается успехом. Но проведение уровневой дифференциации уже в начальной школе должно быть обставлено одним непременным условием: потоки (группы) должны быть динамическими, то есть на определенном этапе обучения наиболее успевающие или, напротив, неуспевающие учащиеся должны своевременно переводиться в классы соответствующего уровня.
§2 Методические основы обучения решению задач на экстремумы
2.1 Задачи на экстремумы в школьном курсе математики (обзор учебников)
Задачи на экстремумы в курсе алгебры 7-9 классов.
В основном, в школьных учебниках алгебры встречаются такие задачи, в которых с помощью известных методов приходят к однозначному ответу, удовлетворяющему условиям задачи.
Решение задач на экстремумы проходит в два этапа:
- на первом этапе текст задачи переводится на математический язык в виде функции, которая допускает много или бесконечно много решений;
- на втором этапе по тем или иным признакам, определяется какое из решений задачи наиболее выгодно.
Посмотрим решение задач на экстремумы на примерах учебников
А.Г. Мордковича и Ш.А.Алимова.
Сначала рассмотрим серию учебников под редакцией А.Г. Мордковича,
Т.Е. Мишустина, Е.Е. Тульчинской.
В 7 классе учащиеся первый раз сталкиваются с задачами на экстремум при изучении координатной прямой. Здесь им приходится решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего числа на взятом промежутке, нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке.
В 8 и 9 классах учащиеся продолжают сталкиваться с задачами на нахождение наибольшего и наименьшего значения при изучении квадратичной функции, функции у=
, у= 
(8 класс) и при изучении темы «Неравенства» (9 класс). Здесь ученикам приходится решать задачи, как на нахождение наименьшего числа удовлетворяющего системе уравнений, нахождение наименьшего и наибольшего значения функций вида у= на отрезке.В серии учебников под редакцией Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина и др. курс алгебры 7-9 классов построен иначе, в этой серии с задачами на экстремум учащиеся сталкиваются только в 7 и 8 классах при изучении квадратичной функции, неравенств и систем уравнений с 2 неизвестными.
Задачи на экстремумы в курсе алгебры 10-11 классов.
Фактически все задачи на экстремумы, с которыми учащимся приходится сталкиваться в курсе алгебры 10-11 классах, решаются основным методом - с помощью производной.
В учебнике «Алгебра и начала анализа », под редакцией А. Н. Колмогорова, производной и ее применению уделена одна из самых больших глав. Авторы сначала дают понятие производной, рассматривают правила ее вычисления, а после этого в учебники приведены различные задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения.
В учебниках «Алгебра и начала анализа» для 10 и 11 классов под редакцией
Н.Я. Виленкина, производной тоже уделено много времени, но учащимся предлагаются задачи более высокого уровня сложности (учебник рекомендован для школ и классов с углубленным изучением математики).
Если говорить о серии учебников под редакцией А.Г. Мордковича, Т.Е. Мишустина, Е.Е. Тульчинской, то мы видим, что, начиная с 7 класса общеобразовательной школы, учащиеся приступают к знакомству с экстремальными задачами. Это происходит при изучении координатной прямой, задач на нахождение наибольшего и наименьшего числа на взятом промежутке, задач на нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке. В 8-9 классе к уже полученным знаниям, навыкам и умениям добавляются задачи на нахождение наименьшего числа удовлетворяющего системе уравнений, нахождение наименьшего и наибольшего значения функций вида у=
на отрезке.Отметим, что также есть учебный курс алгебры, выстроенный иначе. Он представлен в серии учебников под редакцией Ш.А.Алимова, Ю.М. Колягина и др. Следуя этому курсу, учащиеся сталкиваются с задачами на экстремум в 7 и 8 классах при изучении квадратичной функции, неравенств и систем уравнений с 2 неизвестными
В 10-11 классах общеобразовательной школы учащиеся знакомятся с еще одним методом решения задач на экстремумы - с помощью производной. К слову, в учебнике «Алгебра и начала анализа» под редакцией А. Н.Колмогорова, для изучения производной и ее применения автор отводит одну из самых больших глав.
В учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10 и 11 классов под редакцией Н.Я..Виленкина производной также уделяется немало времени, но предлагаются задачи более высокого уровня сложности, поскольку данный учебник рекомендован для специализированных математических школ или классов.
2.2 Методика обучения решению задач
Для того чтобы учащийся понимал, как решать задачу, он должен в первую очередь понимать, что такое задача.
Задача — проблемная ситуация с явно заданной целью, которую необходимо достичь; в более узком смысле задачей также называют саму эту цель, данную в рамках проблемной ситуации, т.е. то, что требуется сделать.
Поиск решения задачи можно представить в виде плана, выполняя который мы прейдем к нужному результату:
1. Понять предложенную задачу.
2. Найти путь от неизвестного к данным, если нужно, рассмотрев промежуточные задачи (анализ).
3. Реализовать найденную идею решения (синтез).
4. Проверка решения.
Теперь давайте рассмотрим каждый из этих пунктов более подробно:
1. В первом пункте нам предстоит ответить на множество вопросов: Что гласит задача? Что дано? Что нужно найти? Определено ли неизвестное данными задачи, или они недостаточны, или же чрезмерны? Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением? Или задачей, решающейся проще, а может быть и сразу? Ответив на эти вопросы мы сможем разобраться в деталях задачи, которые впоследствии, вероятно, будут играть определённую роль.
2. Сформулировать отношение (или отношения) между неизвестным и данными. Преобразовать неизвестные элементы. Попытаться ввести новые неизвестные, более близкие к данным задачи. Преобразовать данные элементы. Попытаться получить, таким образом, новые элементы, более близкие к искомым неизвестным.
3. Выполнение во всех деталях тех алгебраических или геометрических действий, которые вы предварительно сочли выполнимыми. Проверяя правильность каждого шага либо при помощи логических рассуждений, либо при помощи интуитивных рассмотрений, либо, если это возможно, обоими способами. Если задача сложная, можно разбить её на «большие» и «малые» шаги, разделяя каждый большой шаг на несколько малых. Тем самым мы сможем добиться решения, каждый шаг которого будет, без сомнения правилен.
4.Проверяя решение задачи нам вновь приходится ответить на некоторые вопросы: Правдоподобен ли результат? Нет ли другого пути, ведущего к полученному результату, более прямому? Какие результаты ещё можно получить на том же пути? Ответив на эти вопросы мы возможно сможем найти новое, лучшее решение, можем обнаружить новые интересные факты.
Таким образом, решая задачу мы даём ответ на вопрос этой задачи, но во время поиска этого решения нам нужно дать ответ на другие вопросы возникающие во время работы с задачей.
Итак, вернёмся к задачам на отыскание экстремальных значений функции на промежутках. Из обзора школьных учебников учебников можно сделать вывод, что знакомство с задачами на экстремум начинается с решения задач на нахождение наименьшего и наибольшего числа на взятом промежутке, либо значения функции на отрезке. Постепенно задача усложняется, появляются задачи на вычисление наименьшего числа удовлетворяющего системе уравнений, нахождение наименьшего и наибольшего значения квадратичных функций. И уже в 10 – 11 классах после знакомства с производными, ученики начинают решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения сложных степенных функций, решать прикладные задачи.
Требования стандарта образования к умениям и навыкам учащихся гласят, что учащиеся должны уметь: