Решение задач на экстремум (стр. 9 из 16)

Iуровень сложности.

Задача 1.

В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую деревни А и В, чтобы путь AMNB был кратчайшим? (Берега реки считаются параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам).

Решение:

Заметим, что длина отрезка MN не зависит от положения точки М на прямой а, а вектор v = MNопределяется лишь прямыми а и b. Поэтому надо найти такое положение точки М, чтобы сумма AM+NB была наименьшей. Пока отрезки AM и NB удалены друг от друга. Поэтому переведем отрезок AM в положение A'Nпараллельным переносом на вектор v.

Если переносить другую точку, то тогда точки А, М, В' должны принадлежать одной прямой, (рис.).

Получим ломаную A'NB. И теперь становится ясно, что длина ломаной A'NB, а значит и длина пути AMNB будет наименьшей в том случае, когда точки А', N, В лежат на одной прямой. Итак, N - точка пересечения отрезка А'В с прямой Ь, а М - проекция N на прямую а.

Тогда М - точка пересечения отрезка АВ' с прямой а, а N - проекция М на прямую b .

Вся трудность задачи заключается в том, чтобы заметить особенности, при которых искомая ломаная может принять наименьшую длину.

Задача 2.

Среди всех трапеций с заданной высотой 3 см и диагоналями длиной 6 см и 5 см найдите трапецию максимальной (минимальной) площади. Вычислите

площадь.

Решение:

SABCD =

· h = h = S∆ACD1= const. SABCD= S∆ACD1= ½ ( ) · 3

задача экстремум дифференциация математика

Нетрудно заметить, что параллельные перенос чаще всего используется в тех случаях, когда объектом задачи является трапеция, параллелограмм и другие четырехугольники с параллельными сторонами.

Задача 3.

Две деревни А и В находятся по одну сторону от прямого шоссе а. В какой точке С на шоссе а надо установить остановку автобуса, чтобы сумма расстояний АС + СВ была кратчайшей?

Решение:

Построим точку В, симметричную точке В, относительно прямой а. Для любой точки Упрямой аВХ = ВХ. Поэтому АХ+ХВ = АХ+ ХВ. Ясно, что сумма АХ + ХВ/ становится кратчайшей, когда Xпопадает в точку пересечения отрезка АВ! с прямой а. Эта точка С и дает решение задачи.

В

II уровень сложности.

Задача 1.

Объекты А, В и С расположены между двумя прямолинейными путями l1 и l2 (рис.). Соединить эти объекты между собой замкнутой дорогой кратчайшей длины с выходом на прямолинейные пути.

Решение:

Построим В' =

(В), С = S (C); AC/ пересекает 12 в точке D, а АВ' пересекает l1 в точке К (рис.).

Ломанная AKBCDA имеет наименьшую длину.

Задача 2.

Дан угол и две точки С и D внутри него. Найти точки А и В на сторонах угла так, чтобы сумма длин СА + АВ + BD, была наименьшей.

Решение:

Выполним следующее построение.

Построим d1 и С1 симметричные D и С относительно сторон KLи LM. Проведем отрезок D1C1 и ломаную CABD. Длина ее равна длине отрезка D1C1. Нетрудно понять, что иной путь из С в D с тем же порядком захода на стороны угла будет длиннее.

Задача 3.

В квадрат, диагональ которого равна d, вписан произвольный четырехугольник ABCD. Доказать, что минимальный периметр четырехугольника равен 2d.

Решение:

Пусть MN=dL1=SNC(L) и K1=SMD(K); CL=CL1 и KD=K1D, KD+DC+CL=K1D+DC+CL1≥MN так как

K1MK= LNL1=90◦.

Пусть MN=d . L1=SNC(L) и K1=SMD(K);

CL=CL1 и KD=K1D,

KD+DC+CL=K1D+DC+CL1≥MN так

как

K1MK= LNL1=90◦.

Аналогично можно доказать, что LB + АВ + АК > MN

PABCD=AD+AB+BC+CD = (AK+AB+BL) + (LC+CD+DK) ≥ 2MN ≥ 2d

Pmjn = 2d, если ABCD - прямоугольник.

III уровень сложности.

Задача 1.

По разные стороны от полотна железной дороги АВ расположены два завода М и N. Где нужно построить на железной дороге платформу CD длиной а так, чтобы общая длина дороги MCDN была наименьшей?

А если заводы М и N расположены по одну cторону от железной дороги АВ?

Решение:

Получим ММ1 параллельным переносом на вектор CD. MCDN-min;

MCDN=MM1DNMM1DN - min <=> M1, D, N принадлежат одной прямой.

Если же М и N расположены по одну сторону от прямой АВ. M1

симметрична М относительно прямой АВ.

ММ2 получен параллельным переносом на вектор CD

MCDN-min

MCDN=MiM2DN

M{M2DN - min <=> M2, D, N принадлежат одной прямой.

Задача 2

Дан угол и точка С внутри него. Найти точки А и В на сторонах угла так, чтобы периметр треугольника ABCбыл наименьшим.

Решение:

Возьмем произвольный ∆СА 1В1, две вершины которого, лежат соответственно на сторонах угла KLи LM, а третьей служит точка С.

Построим точки Е и Р, симметричные точке С относительно сторон угла KLи LMи соединим отрезками прямой эти точки соответственно с вершинами А1 и В1 треугольника. Так как нас интересует треугольник с наименьшим периметром, а наименьшим будет периметр, равный длине отрезка ЕР. Поэтому вершины треугольника А и В искомого треугольника определяются как точки пересечения прямой ЕР со сторонами данного угла.

Занятие 2

Тема: «Геометрический подход к решению задач на экстремумы».

Тип: Комбинированный урок

Цели:

Обучающая: изучение различных геометрических методов решения экстремальных задач, обучение решению задач с использованием этих методов.

Развивающая: Развитие критичности мышления, делать выводы, обобщать; развитие навыков самостоятельной работы.

Воспитательная: воспитание личной ответственности за результаты своей работы, активной жизненной позиции, умения ставить и достигать цели.

Задачи: Рассмотреть различные геометрические методы решения экстремальных задач, показать на примерах их использование при решении задач.

Оборудование: доска, мел, карточки с заданиями.

План урока

Содержание	Методы и приемы	Время
1. Орг. момент Сообщение цели урока	Инструктаж учителя	3 мин
2. Изучение нового материала1.Обзор различныхгеометрических методоврешения экстремальныхзадач.2. Пример решения задачи.	Лекция (объяснительно-иллюстра–тивный с элементамипроблемного изложения) Учащиеся конспектируют,задают вопросы.	20 мин
3. Закрепление пройденного материала. (Учитель предлагает учащимся задачи длясамостоятельного решения).	Учащиеся самостоятельнорешают задачи своего уровня сложности (репродуктивный, частично-поисковый)	29 мин
4. Подведение итогов	беседа	3 мин
5. Запись домашнего задания	Инструкция учителя(репродуктивный)	5 мин

Ход урока:

Деятельность учителя	Деятельность учащихся
I. Орг. момент. Здравствуйте, садитесь. Откройте тетради, запишите число.Сегодня мы с вами продолжаем изучение темы "Решение экстремальных задач геометрическим подходом". Но прежде чем перейти к изучению новых способов решения экстремальных задач я хотел бы узнать, возникли ли какие-нибудь вопросы при выполнении домашней работы? Может у кого-то возникли трудности при решении какой-нибудь задачи?Слушает детей, возможно частично прорешивают какую-то задачу у доски.	Садятся Выполняют инструкции учителя, слушают, задают вопросы.Задают возникшие вопросы.
II. Лекция. 1.Обзор различных геометрических методоврешения экстремальных задач.На прошлом занятии мы с вами решали различные экстремальных задач. Какой метод мы использовали при решении этих задач? В чем его суть?Вы совершенно правы, мы решали задачи методом преобразования плоскости. Но задачи на экстремум решаются не только преобразованием плоскости. Есть еще очень много геометрических подходов к решению экстремальных задач, самые используемые из них метод перебора и оценки. Сегодня мы будем решать экстремальные задачи, используя эти методы.Посмотрим на примере. 2. Пример решения задачи Решим задачу:Дан прямоугольный параллелепипед ABCDEFGJ, в котором AB=AE=12, AD=30. Точка М расположена на грани АВFE на расстоянии 1 от середины АВ и на равных расстояниях от А и В. Точка N принадлежит грани DCGJ и расположена симметрично точки М относительно центра АВСDEFGJ. Найти длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками М и N.Учитель с помощью детей решает задачу у доски, объясняя учащимся свои выкладки.Решение:Рассмотрим следующие варианты:1. Пусть путь пересекает EF и GJ. Длина кратчайшего пути в этом случае равна 11+30+1=42.2. Пусть путь последовательно пересекает ребра BF, FG, GJ. Сделаем развертку. Обозначим точки на развертки так же, как и на параллелепипеде. По теореме Пифагора MN=(MK2 +NK2)1|2 =(372+172)1|2=16581|2.3. Путь последовательно пресекает ребра АВ, ВС,FG,GJ. Сделаем развертку. Длина кратчайшего пути в этом случае: MN= (MK2+NK2)1|2=(242+322)1|2=40. Этот путь и оказывается кратчайшим, т.к. его длина равна 40.	Ученики слушают, отвечают на вопросы.Конспектируют, задают вопросы.Слушают учителя, записывают решения в тетрадь, задают возникающие вопросы.
III Закрепление пройденного материала. Сейчас возьмите карточки с заданиями своего уровня и решите предложенные там задачи. Учитель следит за тем, что бы все работали, отвечает на возникающие вопросы. Если какая-та задача вызывает у многих затруднения, ее (полностью или частично) прорешивают на доске.	Учащиеся берут карточки с заданиями ипреступаю крешению задач.Если возникаюттрудности, ониобращаются запомощью кучителю.
IV Подведение итоговИтак, сегодня мы с вами рассмотрели еще два метода решения экстремальных задач и их приминение..Какие у вас есть вопросы по пройденному сегодня материалу? (отвечает на вопросы, если они есть)	Задают вопросы, которые остались непонятными.
VЗапись домашнего заданияДомашнее задание: посмотреть конспект сегодняшнего занятия, дорешать задачки своей карточки.	Записывают.

Задачи предлагаемые учащимся.