Задачный материал к каждому приему варьирования должен удовлетворять разработанным уровням осознанности знаний, способствовать созданию в сознании учащихся правильного взаимоотношения между содержанием задач и их внешним выражением (предметным, знаковым, модельно-образным).
В начальных классах широко используется первый прием варьирования текстовых задач, на характеристике которого остановимся подробнее.
Выделив уровни осознанности знаний учащихся, мы отметили, что первый уровень осознанности знаний предполагает умение применять знания по образцу, в схожей ситуации. В обучении решению задач с помощью метода варьирования ученики достигают первого уровня осознанности знаний, если могут самостоятельно решить базовую задачу или аналогичную ей. Данный прием варьирования как раз и предполагает: изменяя сюжет задачи и (или) изменяя числовые значения данных, школьники получают задачу, аналогичную базовой. Таким образом, применяя первый прием варьирования, можно сформировать у школьников знания на первом уровне осознанности.
Исследуя пути повышения качества усвоения знаний по математике в начальной школе, Н.А. Менчинская и Д.Н. Богоявленский предостерегали от возможности формирования стереотипа при решении задач и предлагали для снятия данного недостатка выполнять некоторые правила. Анализируя рекомендации данных авторов применительно к формированию осознанности знаний школьников, сформулированы следующие требования, которых нужно придерживаться при составлении задач первым приемом варьирования.
Требование 1. Изменяя сюжет (фабулу) задачи, желательно применять различные глаголы для описания операций, выполняемых заданным действием, например, отдали, отнесли, потеряли, съели, истратили и т.д.
Требование 2. Изменяя сюжет задачи, необходимо следить, чтобы определенные данные не присутствовали в задачах в постоянном сочетании. Если это требование не соблюдать, то школьники, решая задачу по аналогии, проводят сразу привычный синтез, игнорируя анализ задачи. Например, рассмотрим задачи 1 и 2.
Задача 1. В первой цистерне 11О т нефти. Во второй цистерне нефти больше, чем в первой, в 4 раза. Сколько нефти в двух цистернах вместе?
Задача 2. В первой корзине было в 4 раза больше слив, чем во второй. Сколько килограммов слив было вместе в двух корзинах, если во второй было 12 кг?
Во второй задаче при изменении сюжета взаимосвязь между данными (в 4раза больше) осталась прежней. Однако здесь видны два изменения: во-первых, поменялись местами известное количество и неизвестное (стало известно количество слив во второй корзине, а не в первой); во-вторых — отношение в 4 раза больше поставлено на первое место, а известное количество слив во второй корзине встроено в вопрос задачи, что потребует от ученика умения вычленить это данное из вопроса задачи, т.е. провести анализ, а не решить задачу по образцу.
Требование 3. Изменяя сюжет задачи, необходимо фиксировать связи между величинами не только в явной, но и в косвенной форме.
Приведем примеры.
Задача 1. В первой коробке 27 карандашей. Сколько карандашей в трех коробках вместе, если во второй коробке в 3 раза меньше карандашей, чем в первой, а в третьей коробке на 17 карандашей больше, чем во второй коробке?
Задача 2. В первом ящике 57 кг яблок, во втором ящике в 3 раза меньше, чем в первом и на 17 кг меньше, чем в третьем ящике. Сколько килограммов яблок вместе в трех ящиках?
Требование 4. Меняя числовые данные в задаче, некоторые из них можно записывать в словесной форме. Так, вместо «в 3 раза», можно записать «в три раза». Это приучает учащихся осмысливать текст задачи, а не пользоваться чисто внешними проявлениями и соотносить между собой только данные, записанные цифрами.
Требование 5. Переводить задачи из конкретного плана в абстрактные значения (заменять числовые величины буквенными). Эта форма работы важна, особенно в IV-V классах, так как она приучает учащихся самостоятельно «переводить» на язык математических терминов различные соотношения, записанные в конкретной жизненной форме. Приведем пример.
Задача 1. Купили 10 тетрадей по 7 р. и 8 карандашей по 4 р. Сколько стоит вся покупка?
Задача 2. Цена тетради а копеек, а карандаша bкопеек. Сколько надо заплатить за х тетрадей и у карандашей?
Здесь обобщение рассматривается как переход от конкретного плана к абстрактному плану.
Требование 6. Перевод задачи из абстрактного плана в конкретный план. Например, дана задача: «Сумма двух чисел равна а, одно число больше другого на b. Найти эти числа». Конкретизируем задачу, придумав в ходе коллективной деятельности сюжет: «У Васи и Коли вместе 20 орехов, причем у Васи больше, чем у Коли, на 4 ореха. Сколько орехов у каждого мальчика?»
Выполняя описанные выше требования конструирования задач с 16 помощью первого приема варьирования, педагог активизирует процесс мышления учащихся (за счет продуманного преобразования структуры задачи), а не только формирует репродуктивную деятельность, в ходе которой, как известно, перегружается память, что приводит к повышенной утомляемости и утрате интереса к обучению [4].
Первый прием варьирования используется учителем в основном как механизм построения текстовых задач. В меньшей степени он подходит для организации преобразующей деятельности учащихся на уроке, которую целесообразно развивать при конструировании задач с помощью остальных приемов варьирования. Рассмотрим использование второго и шестого приемов варьирования для конструирования цепочки взаимосвязанных задач по теме «Периметр и площадь прямоугольника».
Технология составления упражнений с недостающими данными проста: из обычной учебной текстовой задачи учитель убирает одно данное. Далее работа с задачей на уроке может быть построена разными способами.
Способ 1: доопределить условие задачи, используя субъектный опыт учащихся и ранее приобретенные знания.
Способ 2: доопределить условие задачи, используя таблицы, графики, диаграммы.
Способ 3: оставить задачу с неполным условием и получить исследовательскую задачу, так как она будет иметь неоднозначное решение [3].
Рассмотрим работу с такой задачей третьим способом. Предварим составление задачи с неполными данными составлением трех задач с использованием второго приема варьирования.
Задача 1 (базовая, первый уровень осознанности). Длина прямоугольника равна 9 см, а его ширина на 6 см меньше длины. Найти периметр и площадь данного прямоугольника. Составь краткую запись (схему) задачи, запиши решение по действиям.
Задача 3 (третий уровень осознанности). По равенству Р = (5 + (5 + 2) • 2 составь задачу с похожим сюжетом. Выполни краткую запись задачи, запиши ее решение по действиям, составь равенство для нахождения периметра прямоугольника, сравни полученное равенство с данным. На равенство в какой задаче похоже данное равенство? Чем отличается равенство задачи 3 от равенства задачи 1 ? Как изменится текст задачи 3 по сравнению с задачей 1?
При составлении задачи по равенству внимание учащихся направлено на анализ зависимостей между величинами, определяемых данным выражением. Это, в свою очередь, оказывает положительное влияние и на те случаи, когда впоследствии учащиеся самостоятельно будут решать готовые задачи, так как они осознанно вникли в структуру задачи, разложив на составные части данное выражение и восстановив взаимосвязи между сторонами прямоугольника. Использование второго приема варьирования при составлении данной цепочки задач позволяет школьникам проводить постепенное сокращение промежуточных звеньев рассуждений при решении последующих задач.
– Чем похожи задачи 1, 2 и 3? (Одинаковый периметр.) Какая площадь у этих прямоугольников? (Разная.) Сколько существует прямоугольников с периметром 24 см?
Таким образом, в ходе беседы получена задача 4 с неполным условием: «Периметр прямоугольника 24 см. Найти его площадь».
– Сколько решений этой задачи уже получено? Выпишем их.
Если при решении данной задачи возникают затруднения, то учитель может задать наводящий вопрос: «Чему равна сумма длины и ширины?» На доске и в тетрадях учащихся появляются записи.
школьник умение математический текстовый задача
Р=(9 + 3) • 2, S = 27.
Р=(8 + 4) • 2, S=32.
Р=(7 + 5) • 2, S=35.
Р=(11 + 1) • 2, S=11.
Р=(10 + 2) • 2, S=20.
Р=(6 + 6) • 2, S=36.
Ответ: задача имеет 6 решений.
Осуществляя перебор возможных вариантов, учащиеся проводят элементы исследовательской деятельности и отвечают на вопросы: «У какого прямоугольника самая большая площадь? Как его можно назвать по-другому?» В старших классах мы докажем, что из всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Используя данный факт, можно решить практическую задачу 5: «Для ограждения дачного участка купили 92 м сетки. Какой формы участок выгоднее обнести этой сеткой? Чему равна площадь такого участка?»