В последние десятилетия особенно интенсивно рассматривались вопросы формирования интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о действительности, времени и пространстве известным швейцарским психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое отношение к проблемам развития математического мышления ребёнка.
В одной из своих последних книг, написанной совместно с Б. Инельдер, Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12 – 14 лет) таких элементарных логических структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает выполнение операции включения (например, А + А' = В) и операции, ей обратной (В – А' = А). Сериация – это упорядочение предметов в систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд, каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).
Анализируя становление классификации, Ж. Пиаже и Б. Инельдер показывают, как от её исходной формы, от создания "фигурной совокупности", основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к классификации, основанной уже на отношении сходства ("нефигурные совокупности"), а затем к самой сложной форме – включению классов, обусловленному связью между объёмом и содержанием понятия. Авторы специально рассматривают вопрос о формировании классификации не только по одному, но и по двум-трём признакам, о формировании у детей умения изменять основание классификации при добавлении новых элементов.
Эти исследования преследовали вполне определённую цель – выявить закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способности ума двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда, когда "операции и действия могут развёртываться в двух направлениях, и понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого".
Ж. Пиаже считает, что психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребёнка (особенно тех логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия) позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами алгебраическими, структурами порядка и топологическими.
В период от 7 до 11 лет система отношений, основанная на принципе взаимности, приводит к образованию в сознании ребёнка структуры порядка. Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже, применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего, исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного детства у ребёнка формируются такие операторные структуры мышления, которые позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. Причём уже на стадии конкретных операций (с 7 – 8 лет) интеллект ребёнка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности математики.
Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не учитывали в достаточной мере сложного и ёмкого характера тех стадий умственного развития ребёнка, которые связаны с периодом от 7 до 11 лет. Сам Ж. Пиаже эти операторные структуры прямо соотносит с основными математическими структурами. Он утверждает, что математическое мышление возможно лишь на основе уже сложившихся операторных структур (и при этом остаётся в тени объект этих операций). Это обстоятельство можно выразить и в такой форме: не "знакомство" с математическими объектами и усвоение способов действия с ними определяют формирование у ребёнка операторных структур ума, а предварительное образование этих структур (как "координации действий") является началом математического мышления, "выделения" математических структур.
Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по математике. Прежде всего, фактические данные о формировании интеллекта ребёнка с 7 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не "чужды" свойства объектов, описываемые посредством математических понятий "отношение – структура", но последние сами органически входят в мышление ребёнка.
Традиционные задачи начальной школьной программы по математике не учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребёнка. В этой связи практика внедрения в начальный школьный курс математики логических задач должна стать нормальным явлением.
Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют положительно оценивать общую идею внедрения в учебные программы таких задач, в основе которых лежали бы понятия об исходных математических структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как ещё нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них связана с определением возрастного "порога", с которого осуществимо обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью сформировались операторные структуры (с 14 – 15 лет). Но если предположить, что реальное математическое мышление ребёнка формируется как раз внутри того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше (например, с 7 – 8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные операции с высшим уровнем обратимости. В "естественных" условиях, при обучении по традиционным программам, формальные операции, возможно, только и складываются к 13 – 15 годам. Но нельзя ли "ускорить" их формирование путём более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует прямого анализа математических структур?
Представляется, что такие возможности есть. К 7 – 8 годам у детей уже в достаточной мере развит план мыслительных действий. Путём обучения по соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны "явно" и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется при "самостоятельном" открытии этих свойств. При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций, приуроченном Ж. Пиаже к 7 – 11 годам, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, свойственными традиционной начальной школе.
Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные, показывающие тесную связь операторных структур детского мышления и общематематических и общелогических структур, хотя "механизм" этой связи далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает принципиальные возможности для построения учебного предмета, развертывающегося по схеме "от простых структур – к их сложным сочетаниям".
Можно сделать вывод, что логические мышление необходимо развивать в раннем детстве, так как от момента рождения до 7 – 10 лет у ребёнка возникают и формируются сложнейшие системы общих представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-предметного мышления. Отсюда следует, что значительное место должно принадлежать широкому применению в процессе обучения младших школьников нестандартных логических задач.
1.2 Роль логических задач в формировании умственных способностей у младших школьников
В отличие от естественнонаучных дисциплин математика отражает объективную реальность лишь опосредованно. Предмет её изучения – мысленные идеальные обобщённые образы, являющиеся результатом многоуровневой абстракции. Поэтому изучение математики связано с необходимостью создавать образы и оперировать ими, что требует значительно большего интеллектуального напряжения, чем оперирование предметно данными объектами.
Другая особенность математики в том, что она исследует абстрактные сущности независимо от той реальности, отражением которой они являются. Этим определяется преимущественно дедуктивный её характер, в силу чего изучение математики требует умения правильно рассуждать. Но умение правильно, последовательно рассуждать в незнакомой обстановке даётся с трудом. Как всякое умение, оно может быть усвоено только при целенаправленном обучении. В школьной практике учащиеся овладевают такими умениями, как правило, стихийно в процессе решения задач, требующих специальных математических знаний, но математика имеет неограниченные возможности в развитии интеллекта школьника. Математические задачи, накопленные и проверенные в ходе многолетней педагогической практики, позволяют эффективно развивать различные стороны психической деятельности человека: внимание, воображение, фантазию, образное и понятийное мышление, зрительную, слуховую и смысловую память. В методической литературе за развивающими задачами закрепились специальные названия: задачи на соображение, задачи с «изюминкой», задачи на смекалку и др. (логические задачи).
Во всём этом многообразии можно выделить в особый класс такие задачи, которые называют задачами-ловушками, «обманными» задачами, провоцирующими задачами. В условиях таких задач содержатся различного рода упоминания, указания, намёки, подсказки, подталкивающие к выбору ошибочного пути решения или неверного ответа.