Методика вивчення тригонометричних функцій у старшій школі з використанням мультимедійних засобів (стр. 5 из 8)

Доцільно розглянути сім властивостей тригонометричних функцій і систематизувати їх так, як це наведено для функції у = sin х.

1. Оскільки синус існує для будь-якого дійсного числа і як ордината точки одиничного кола змінюється на відрізку

, то областю визначення функції у=sin x є множина R всіх дійсних чисел, областю значень – відрізок .

2. Графік функції симетричний відносно початку координат, тобто функція у=sin х непарна. Доведемо це за допомогою одиничного кола.

Область визначення цієї функції – множина, симетрична відносно початку координат. Залишається довести, що

. Позначимо на одиничному колі точки і , які відповідають числам і , що належать множині R. Оскільки прямокутні трикутники і рівні, то ( — спільний катет). Отже, абсциси точок і рівні, а ординати – протилежні числа. Тому .

3. Функція періодична з найменшим додатним періодом

.

4. Функція набуває значення, що дорівнює 0 (нулі функцій) при

, де , оскільки ординати точок одиничного кола перетворюються на нуль на відрізку у двох точках і , a функція періодична.

5. Проміжки зростання функції – відрізки

,

де

. Оскільки – періодична функція, то досить довести зростання на одному із названих відрізків, наприклад на . Скористаємось означенням зростаючої функції. Нехай

і .

Доведемо, що різниця

додатна. Справді, , оскільки за умовою , тому , , отже,

і .

6. Проміжками, де синус додатний, є

, оскільки на відрізку [0;2 ], довжина якого дорівнює найменшому додатному періоду 2 , функція додатна на проміжку (0; ). Синус від'ємний на проміжку , оскільки на відрізку [0;2 ] він від'ємний на проміжку ( ;2 ).

7. Синус досягає максимуму, що дорівнює 1, в точках

, а мінімуму, що дорівнює -1, у точках , оскільки на відрізку ордината точки одиничного кола дорівнює 1 при і -1 при .

За такою самою схемою вводяться властивості функцій

.

З метою закріплення вивчених властивостей тригонометричних функцій і повторення основних понять щодо функцій можна запропонувати вправи на знаходження області визначення й області значень складних функцій, формули яких містять тригонометричні функції; на порівняння числових значень тригонометричних виразів; на побудову графіків складних тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій.

2.4 Перетворення тригонометричних виразів

Для тотожних перетворень тригонометричних виразів необхідні знання формул і вміння ними користуватися. Запам'ятовування й застосування тригонометричних формул полегшується, якщо вводити формули групами:

співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

формули додавання, формули подвоєного аргументу;

формули половинного аргументу (формули пониження степеня);

формули перетворення суми й різниці тригонометричних функцій на добуток;

формули перетворення добутку тригонометричних функцій на суму;

вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу (універсальна тригонометрична підстановка).

Доцільно підкреслювати, що, наприклад, сума (різниця) синусів або косинусів перетворюютъся в добуток, а у формулах половинного аргументу — аргумент збільшується вдвічі, а степінь зменшується вдвічі. Учням корисно мати на картці, або на останній сторінці зошита, а ще краще — на зворотному боці тригонометра ці формули. Мінімум формул можна записати такими блоками.

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

, , ,

, , .

Формули додавання, формули подвоєного аргументу

,

,

,

,

, .

Формули пониження степеня

, .

Формули перетворення суми й різниці тригонометричних функцій у добуток

, ,

.

Універсальна тригонометрична підстановка

, , .

Як же учневі навчитися користуватися цими формулами? Корисно дати учням деякі поради щодо тотожних перетворень тригонометричних функцій: