Методика изучения геометрических величин в курсе геометрии средней школы (стр. 6 из 6)
В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных величин (то есть в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объёмов) устанавливается отношение неравенства: две величины a и b одного и того же рода или совпадают a = b, или первая меньше второй
(a < b), или вторая меньше первой (a > b). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объёмов и то, каким образом устанавливается для каждого рода величины смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных величин отношение неравенства a < b и операция сложения a + b = c удовлетворяют следующим аксиомам:
1) Каковы бы ни были a и b, имеет место одно и только одно из трёх соотношений: или a = b, или a < b, или a > b;
2) Если a < b и b < c, то a < c (транзитивность неравенства);
3) Для любых двух величин a и b существует однозначно определённая величина c = a + b;
4) a + b = b + a (коммутативность сложения);
5) a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность сложения);
6) a + b > a (монотонность сложения) ;
7) Если a > b, то существует одна и только одна величина c, для которой b + c = a (возможность вычитания);
8) Каковы бы ни были величины a и натуральное число n, существует такая величина b, что a = nb (возможность деления);
9) Каковы бы ни были величины a и b, существует такое натуральное число n, что a < nb. Это аксиома называется аксиомой Евдокса, или аксиомойАрхимеда. На ней вместе с более элементарными аксиомами 1-8 основана теория измерения величин, развитая древнегреческими математиками.
Если взять какую-либо длину l за единичную, то система Sl всех длин, находящихся в рациональном отношении к l, удовлетворяет аксиомам 1-9. Существование несоизмеримых отрезков (открытие которых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система Sl ещё не охватывает системы S всех произвольных длин.
Чтобы получить вполне законченную теорию величин, к аксиомам 1-9 надо присоединить ещё ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:
10) Если последовательности величин
обладают тем свойством, что bn − an < c для любой величины c при достаточно большом номере n, то существует единственная величина x, которая больше всех an и меньше всех bn.Аксиомы 1-10 и определяют полностью современную теорию положительных скалярных величин. Если в системе положительных скалярных величин выбрать какую-либо величину l за единицу измерения, то все остальные величины системы однозначно представляются в виде a = αl, где α - положительное действительное число.
Приложение 2
Тест для учащихся 8 класса на тему «Площади фигур».
1. Выберите верные утверждения:
а) Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон;
б) Площадь квадрата равна квадрату его сторон;
в) Площадь прямоугольника равна удвоенному произведению двух его соседних сторон.
2. Закончить фразу: Площадь ромба равна половине произведения…
а) его сторон;
б) его стороны и высоты, проведенной к этой стороне;
в) его диагоналей.
3. По формуле
можно вычислить площадь:а) параллелограмма;
б) треугольника;
в) прямоугольника.
4. Площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD и высотой BH вычисляется по формуле:
а) S=AB:2∙CD∙BH;
б) S=(AB+BC):2∙BH;
в) S=(AB+CD):2∙CD∙BH;
5. Выберите верное утверждение.
Площадь прямоугольного треугольника равна:
а) половине произведения его стороны на какую-либо высоту;
б) половине произведения его катетов;
в) произведению его сторон на проведенную к ней высоту.
6. В треугольниках ABC и MNK
B= N. Отношение площадей треугольников ABC и MNK равно:а)
7. В треугольниках MNK и DOS высоты NE и OT равны. Тогда SMNK:SPOS=…
а)MN:PO; б)MK:PS; в)NK:OS.
Приложение 3
Самостоятельная работа для учащихся 7 класса на тему «Измерение отрезков».
Вариант1
1. На отрезке АВ взяты точки М и N. Известно, что АВ=12см, АМ=8см, В N=10см. Найдите длину отрезка М N.
2. На отрезке АВ длиной 36см взята точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если АК больше ВК на 4см.
3. Дан отрезок АВ=16см. Точка М – середина отрезка АВ, точка К – середина отрезка МВ. Найдите длину отрезка АК.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО: На отрезке АВ длиной 36 см взята точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если АК:ВК=4 : 5.
Вариант2
1. На отрезке АВ длиной 12см взята точка С так, что АС=10см, и точка D так, что С D=5см. Найдите длину отрезка ВD.
2. На отрезке АВ длиной 36см взята точка К. Найдите длины отрезков АК и ВК, если АК больше ВК в 3 раза.
3. Точка М – середина отрезка АВ, точка К – середина отрезка МВ. Найдите длину отрезка АК, если ВК=3см.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО: На отрезке МТ длиной 36 см взята точка К. Найдите длины отрезков МК и ТК, если МК : ТК=7 : 5