Методика обучения школьников основам комбинаторики теории вероятностей и математической статистики (стр. 11 из 15)
3. Дано распределение дней рождения старшеклассников (учащихся 9-11 классов) по месяцам и дням недели
| пн | вт | ср | чт | пт | сб | вс | |
| январь | 0 | 1 | 3 | 4 | 0 | 0 | 1 |
| февраль | 2 | 4 | 1 | 2 | 3 | 0 | 2 |
| март | 2 | 2 | 0 | 2 | 4 | 2 | 0 |
| апрель | 3 | 2 | 5 | 8 | 0 | 3 | 2 |
| май | 4 | 0 | 2 | 1 | 1 | 1 | 2 |
| июнь | 4 | 2 | 2 | 1 | 3 | 2 | 0 |
| июль | 0 | 1 | 4 | 2 | 1 | 2 | 0 |
| август | 1 | 2 | 4 | 4 | 2 | 0 | 1 |
| сентябрь | 0 | 1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 5 |
| октябрь | 1 | 2 | 0 | 0 | 2 | 1 | 0 |
| ноябрь | 0 | 2 | 4 | 1 | 1 | 5 | 1 |
| декабрь | 2 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 2 |
Найдите относительные частоты событий:
А = {старшеклассник родился в майское воскресенье};
В ={старшеклассник родился в зимний четверг};
С = {старшеклассник родился в понедельник};
D = {старшеклассник родился весной}.
Занятие №7. Геометрическая вероятность.
Геометрическая вероятность – это своеобразный аналог формулы классического определения вероятности события: отношение двух натуральных чисел (количество благоприятных исходов к количеству всевозможных исходов) в формуле классического определения вероятности событий заменяется отношением мер (длин, площадей, объемов) геометрических множеств, где оба множества (в общем случае) представляют собой бесконечные множества исходов. Тем самым достигается возможность найти вероятность и в случае бесконечного множества исходов. В этом – конечное и бесконечное множества исходов – и заключается основное различие между классическим определением вероятности события и геометрическим.
Рассмотрение геометрической вероятности развивает у учащихся пространство воображения и способствует формированию умений переводить исходную вероятностную ситуацию на геометрический язык.
Геометрические вероятности можно дать в ознакомительном порядке, разобрав для этого ряд задач.
Задачи:
1. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на большой отрезок, попадет и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.
2. Внутри квадрата со стороной 10 см выделен круг радиусом 2 см. случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?
3. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.
4. Перед окопами вдоль прямой линии через каждые 10 м установлены противотанковые мины. Перпендикулярно этой линии движется танк, ширина которого 3 м. Какова вероятность того, что танк пересечет линию установки мин невредимым, то есть, что мина не взорвется?
Занятие №8. Теорема сложения вероятностей.
Из четырех теорем о сложении вероятностей (для двух несовместных событий, для n несовместных событий (обобщение), для событий, образующих полную группу и для противоположных событий) практический интерес для слушателей курса представляют лишь две теоремы: первая и третья. Обе они часто используются при решении вероятностных задач, и поэтому их следует подробно с доказательством рассмотреть на занятии. Теорему о противоположных событиях (как частный случай третьей теоремы) можно поручить рассказать одному из учащихся.
Теорема 1. Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Тогда вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Доказательство. Введем обозначения: n – общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 – общее число исходов, благоприятствующих событию А; m2 – общее число исходов, благоприятствующих событию В.
Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1+m2. Следовательно,
Р(А+В)=
.Приняв во внимание, что
и 
, окончательно получимР(А+В)=Р(А)+Р(В).
Теорема 2. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).
Теорема 3. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу, равна 1:
Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.
Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то
Р(А1+А2+…+Аn)=1. (*)
Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:
Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn). (**)
Сравнивая (*) и (**), получим
Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.
Теорема 4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
Р(А)+Р(
)=1.Задачи:
1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
2. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. (Решить двумя способами: с помощью 1 и 4 теорем).
3. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.
4. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. найти вероятность промаха.
Занятие №9. Теорема умножения вероятностей.
Перед тем как излагать теорему умножения вероятностей необходимо ввести понятие условной вероятности. Привести учащихся к этому понятию поможет разбор примера.
Пример: Из ящика, в котором 3 белых и 3 черных шаров, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Какова вероятность появления белого шара при втором испытании, если при первом испытании был извлечен черный шар?
Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению равна
(Р(А)>0).Опираясь на определение условной вероятности, учащиеся без труда смогут сформулировать теорему о вероятности совместного появления двух событий.
Теорема 1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие уже наступило:
Р(АВ)=Р(А)РА(В).
Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, то есть
РА(В)=Р(В) или РВ(А)=Р(А).
Теорема 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:
Р(АВ)=Р(А)Р(В).
На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.
Задачи:
1. Среди ста лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что два наудачу выбранные билета окажутся выигрышными.
2. В коробке 9 одинаковых радиоламп, 3 из которых были в употреблении. В течение рабочего дня мастеру для ремонта аппаратуры пришлось взять две радиолампы. Какова вероятность того, что обе взятые лампы были в употреблении?
3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический?
4. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что на первом кубике выпадет четное число очков, а на втором – число, меньшее 6?
5. Имеется 3 ящика, содержащих 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.
Занятие №10. Следствия теорем сложения и умножения.
Возвращаясь к занятию №8, где теорема сложения была рассмотрена для несовместных событий, целесообразно изложить теорему сложения для совместных событий. Доказательство приводить не обязательно, надо только ее проиллюстрировать.
Теорема 1. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме этих событий без вероятности их совместного появления: