Методика обучения школьников основам комбинаторики теории вероятностей и математической статистики (стр. 12 из 15)
 |
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Пусть требуется найти вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу.
Если А произошло вместе с одним из событий В1, В2, …, Вn, значит, произошло одно из несовместных событий В1А, В2А, …, ВnА.
Таким образом, А= В1А + В2А + … + ВnА.
Поскольку события В1, В2, …, Вn взаимно несовместны, то и события В1А, В2А, …, ВnА обладают тем же свойством. Поэтому
Р(А)= Р(В1А) + Р(В2А) + … + Р(ВnА).
По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем
; 
; …; 
.Поэтому
.Теорема 2. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
.Эту формулу называют «формулой полной вероятности».
С помощью этой формулы находим так называемую формулу Бейеса:
при i=1, 2, …, n.Особенно широко она применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез. Гипотезы – это события, про которых заранее не известно, какое из них наступит.
Доказать формулу Бейеса учащиеся могут самостоятельно.
Задачи:
1. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?
2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.
3. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий – только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?
4. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того, что один из купленных билетов выигрышный?
5. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
6. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно, а один совсем не готовился – понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо – на 16 вопросов, удовлетворительно – на 10, и не подготовившиеся – на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?
Занятие №11. Формула Бернулли. Закон больших чисел.
Формула Бернулли намного упрощает путь решения задач в том случае, когда опыты повторяются независимо друг от друга и вероятность интересующего нас события не меняется.
Вероятность того, что при повторных испытаниях событие А наступит m раз и не наступит n-m раз находится по формуле:
.Вычисления по формуле Бернулли при больших значениях n и m затруднительны. В математике установлены приближенные формулы, позволяющие находить приближенные значения для Рn(m) и, что еще важнее для практики, суммы значений Рn(m), таких, что дробь
(относительная частота появления события А) лежит в данных границах.По формуле Бернулли вероятность того, что в серии из 100 подбрасываний монеты все 100 раз выпадет герб, равна
, то есть примерно 10-30. Не столь мала, но все, же ничтожна вероятность того, что цифра выпадет не более 10 раз. Наиболее вероятно, что число выпадений герба будет мало отличаться от 50.Вообще при большом числе испытаний относительная частота появления события, как правило, мало отличается от вероятности этого события. Математическую формулировку этого качественного утверждения дает принадлежащий Я. Бернулли закон больших чисел, который в уточненной П.Л. Чебышевым гласит:
Теорема. Пусть вероятность события А в испытании s равна р, и пусть проводятся серии, состоящие из n независимых повторений этого испытания. Через m обозначим число испытаний, в которых происходило событие А. Тогда для любого положительного числа e выполняется неравенство
.Эту теорему лучше давать без доказательства по следующим причинам: во-первых, на доказательство уйдет много времени и, во-вторых, самим доказательством можно «затмить» идею закона больших чисел.
Задачи:
1. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?
2. Вероятность того, что изделие не пройдет контроля, равна 0,125. какова вероятность того, что среди 12 изделий не будет ни одного забракованного контролером?
3. вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
4. С разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела. Вероятность попадания первым выстрелом примерно 0,1, вторым – 0,2, третьим – 0,3 и четвертым – 0,4. Какова вероятность того, что все четыре выстрела - промахи?
5. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего следует больше ожидать: трех побед в 4 партиях или пяти побед в 8 партиях?
6. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы вероятнейшее число появления шестерки было бы 32?
7. Какова вероятность равенства
с точностью до 0,1 при 100 опытах?Занятие №13. Самостоятельная работа.
Изучение случайных событий желательно завершить самостоятельной работой, в которой одну-две задачи надо решить как можно большим числом способов. Неплохо включить в работу и теоретический вопрос (чтобы проверить, с одной стороны, понимание учащимися теоретической части пройденного материала и, с другой стороны, умение учащихся формулировать и излагать свои мысли).
Примерный состав самостоятельной работы:
Вариант 1
1. Среди облигаций займа 25% выигрышных. Найдите вероятность того, что из трех взятых облигаций хотя бы одна выигрышная.
2. Найти вероятность
по данным вероятностям: Р(А)=а, Р(В)=b, Р(А+В)=с.3. Могут ли несовместные события быть в то же время независимыми и наоборот? Привести примеры.
Вариант 2
1. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью р. Найти вероятность того, что для ввода двигателя на работу придется включить зажигание не более двух раз.
2. Найти вероятность
по данным вероятностям: Р(А)=а, Р(В)=b, Р(А+В)=с.3. Почему формула Бернулли применяется при независимости опытов?
Способы решения первых задач подробно изложены в методике.
Занятие №14. Кому нужна теория вероятностей?
Форма организации данного занятия – круглый стол – представление учащимися индивидуальных творческих работ по выбору:
- небольшая подборка интересных вероятностных задач из различных областей профессиональной деятельности;
- исследовательская работа в области теории вероятности;
- индивидуальный проект, отражающий возможность применения знаний по теории вероятности в какой-либо деятельности человека или для какой-либо профессии;
- написание программ для вычисления вероятностей на каком-либо языке программирования.
Общая тема творческих работ: «Кому нужна теория вероятностей?».
В качестве источников литературы можно порекомендовать следующие книги: Китайгородский, А.И.– посвящена применению законов теории вероятностей к различным жизненным ситуациям и в разных областях науки.
Раздел 3. Случайные величины.
Здесь учащиеся знакомятся еще с одним видом функции – случайной величиной. Эта специфическая числовая функция дополняет и расширяет представление школьников о функциональных зависимостях.
Занятие №1. Понятие случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
В теории вероятностей приводились события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 есть возможные значения этой величины.