Методика обучения школьников основам комбинаторики теории вероятностей и математической статистики (стр. 13 из 15)
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Пример 1. Число родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 100.
Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от силы и направления ветра, от температуры и других причин, которые могут полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, b).
Случайные величины обозначают прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x1, x2, x3.
Виды случайных величин
Дискретной или прерывной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины (ДСВ) может быть конечным или бесконечным (см. пример 1).
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений НСВ бесконечно (см. пример 2).
Закон распределения вероятностей ДСВ
На первый взгляд может показаться, что для задания ДСВ достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому для задания ДСВ не достаточно перечислить всевозможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения ДСВ первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:
| X | x1 | x2 | … | xn |
| p | p1 | p2 | … | pn |
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что событие X=x1, X=x2, …, X=xn образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, то есть сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице: p1+p2+…+pn=1. Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд p1+p2+… сходится и его сумма равна единице.
Для наглядности закон распределения ДСВ можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi, pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Занятие №2. Математические операции над случайными величинами.
Вначале введем понятие независимости случайных величин.
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Например, если имеются билеты двух различных денежных лотерей, то случайные величины X и Y, выражающие соответственно выигрыш по каждому билету, будут независимыми, так как при любом выигрыше по билету одной лотереи (например, при X=xi) закон распределения выигрыша по другому билету (Y) не изменится. Если же случайные величины X и Y выражают выигрыш по билетам одной денежной лотереи, то в этом случае X и Y являются зависимыми, ибо любой выигрыш по одному билету (X=xi) приводит к изменению вероятности выигрыша по другому билету (Y), то есть к изменению закона распределения Y.
Определим математические операции над ДСВ.
Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kxi с теми же вероятностями pi (i=1, 2, …, n).
m-й степенью случайной величины Х, то есть Хm, называется случайная величина, которая принимает значение
с теми же вероятностями pi (i=1, 2, …, n).Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида xi+yj (xi-yj или xi∙yj), где i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m, с вероятностями pij того, что случайная величина Х примет значение xi, а Y – значение yj: pij=Р[(X=xi) (Y=yj)].
Если случайные величины Х и Y независимы, то есть независимы любые события X=xi, Y=yj, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий
pij=Р(X=xi)∙Р(Y=yj) = pi∙pj.
Занятие №3. Числовые характеристики ДСВ. Математическое ожидание.
Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения задач, подобных приведенной и многих других, знание математического ожидания оказывается достаточным.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина Х может принимать только значения х1, х2, …, хn, вероятности которых соответственно равны р1, р2, …, рn. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством
М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn.
То есть
.Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
.2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
.3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
.4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
.Доказать приведенные свойства учащиеся могут самостоятельно.
Задачи:
Занятие №4. Дисперсия ДСВ.
Занятие №5. Среднее квадратическое отклонение.
Занятие №6. Метод наименьших квадратов.
Занятие №7. Зачет.
Раздел 4. Элементы математической статистики.
В рамках данного элективного курса предполагается познакомить учащихся с элементами статистики как научного направления. Прежде всего речь идет об элементах так называемой «описательной» статистики, которая занимается вопросами сбора и представления первичной статистической информации в табличной и графической формах, вычисления числовых характеристик для совокупности числовых данных.
Включение в курс начальных сведений из статистики направлено на формирование у учащихся таких важных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатов статистических исследований, широко представленных в средствах массовой информации.
Занятие №1. Выборочный метод.
Статистика – это научное направление, объединяющие принципы и методы работы с числовыми данными, характеризующими массовые явления. Оно включает в себя математическую статистику, общую теорию статистики и целый ряд отраслевых статистик (статистика промышленности, статистика финансов, статистика народонаселения и другие).
Предметом математической статистики является изучение случайных величин по результатам наблюдений. Для получения опытных данных необходимо провести обследование соответствующих объектов. Например, если исследователя интересует вероятность того, что диаметр валика определенного типоразмера после шлифовки окажется за пределами технического допуска, то надо знать закон распределения этого диаметра, а для этого прежде всего нужно располагать набором возможных значений диаметра. Однако обследовать все валики зачастую трудно, поскольку их количество может быть велико. Поэтому приходится из всей совокупности объектов для обследования отбирать только часть, то есть проводить выборочное обследование. В некоторых случаях обследование объектов всей совокупности практически не имеет смысла, поскольку они разрушаются в результате обследования. Таким образом, основным методом статистики является выборочный метод.