Методика обучения школьников основам комбинаторики теории вероятностей и математической статистики (стр. 6 из 15)
Это новое понятие математики назвали кортежем (наряду со словом «кортеж» применяют названия «слово», «набор», «вектор», «конечная последовательность» и т.д.). Кортеж – французское слово, означающее торжественное шествие. И у нас иногда говорят «кортеж автомашин», «свадебный кортеж» и т.д. При этом кортеж автомашин может состоять из нескольких «Волг», нескольких «БМВ» и нескольких «Ауди». Если считать машины одной и той же марки неразличимыми, то получим, что в кортеже автомашин один и тот же элемент может повторяться несколько раз.
В математике кортеж определяют так. Пусть имеется несколько множеств X1, …, Xk. Представим себе, что их элементы сложены в мешки, а мешки перенумерованы. Вытащим из первого мешка какой-нибудь элемент (то есть возьмем какой-нибудь элемент а1 множества Х1), затем вытащим элемент а2 из мешка Х2 и будем продолжать этот процесс до тек пор, пока из мешка Хk не будет вытащен элемент аk. После этого расставим полученные элементы в том порядке, в котором они появились из мешков (а1, а2, …, аk). Это и будет кортежем длины k, составленным из элементов множеств X1, …, Xk. Элементы а1, а2, …, аk называют компонентами кортежа.
Два кортежа называют равными в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, а на соответствующих местах стоят одни и те же элементы.
Здесь учащимся можно дать индивидуальное задание: взять любое множество и составить из его элементов кортеж, при этом спросить их, почему он является кортежем, и сколько кортежей можно составить из этого множества?
При больших значениях n (n – это количество элементов в множестве, из которого составляется кортеж) и k (k – это количество элементов в кортеже) перебор вариантов становиться очень громоздким, поэтому ограничиваются только подсчетом общего числа возможных вариантов построения кортежей. Для простейших комбинаторных задач формулы для подсчета числа возможных кортежей получаются с помощью двух основных правил комбинаторики.
Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b можно выбрать n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами. (Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 7+4=11 способами).
На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом: Если пересечение конечных множеств A и B пусто, A∩B=Ø, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств A и B: A∩B=Ø =>
Здесь целесообразно задать учащимся вопросы: А как будет сформулировано правило суммы для пересекающихся множеств A и B? в общем случае для конечного числа множеств?
Правило суммы применяется для решения комбинаторных задач. Именно, часто приходится разбивать все множество перечисляемых комбинаций, подсчитывать число элементов в каждой группе и потом складывать получившиеся ответы.
Правило произведения. Возьмем несколько конечных множеств X1, …, Xk, состоящих соответственно из n1, …, nk элементов, и найдем, сколько кортежей длины k можно составить из элементов этих множеств. Способ, которым мы решим эту задачу по сути дела будет тем же самым, каким было найдено число трехзначных номеров без восьмерок. Сначала найдем число кортежей длины 1, составленных из элементов множества Х1. Ясно, что их число равно n1. Возьмем теперь один из этих кортежей (а1) и припишем к элементу а1 справа по очереди все элементы множества х2.Получится n2 кортежей длины 2, у которых первая координата равна а1. Но вместо а1 можно было бы взять любой другой элемент из Х1. Поэтому получается n1 раз по n2 кортежа, а всего n1∙ n2 кортежей длины 2 или, как чаще говорят пар. Из каждой такой пары получим n3 троек, приписав к ней по очереди все элементы множества Х3, а всего n1∙ n2∙ n3 троек. Продолжая этот процесс, получим, в конце-то концов, n1∙ n2∙ …∙ nk кортежей длины k, составленных из элементов наших множеств.
Полученный результат является одним из важнейших в комбинаторике. На нем основан вывод многих формул комбинаторики. Его называют «правилом произведения». Сформулируем это правило так. Если элемент а1 можно выбрать n1 способами, после каждого выбора этого элемента следующий за ним элемент а2 можно выбрать n2 способами … после выбора элементов а1, а2, …, аk-1 элемент аk выбирается nk способами, то кортеж (а1, а2, …, аk) можно выбрать n1 ∙ n2 ∙ … ∙ nk.
Подсчитаем, например, сколько слов, содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы различны (например, слово «корова» допускается, а слово «колосс» нет). При этом, разумеется можно писать бессмысленные слова. В этом случае на первое место у нас 33 кандидата. Но после того, как первая буква выбрана, вторую можно выбрать лишь 32 способами – ведь повторять первую букву нельзя. На третье место тоже 32 кандидата – первую букву уже можно повторить, а вторую – нельзя. Также убеждаемся, что на все места, кроме первого, имеется 32 кандидата. А так как число этих мест равно 5, то получаем ответ 33∙32∙32∙32∙32∙32=1107396236.
Задачи на непосредственное применение комбинаторных правил произведения и суммы:
1. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 знают английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Сколько человек знают только один язык?
2. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?
3. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?
4. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске черный и белый квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?
5. Имеется 20 тетрадей в линейку и 30 тетрадей в клетку. Необходимо выбрать две тетради одного вида. Сколько способов выбора двух тетрадей возможно, если учитывается порядок выбора тетрадей?
Занятия №4, 5, 6. Размещения. Перестановки. Сочетания.
Эти занятия можно построить с использованием презентации (см. Приложение 1) по единой схеме: определение → вывод формулы (доказательство) → пример. По мере рассмотрения каждого из комбинаторных понятий целесообразно отработать с учащимися эти понятия на символическом материале. Для усвоения содержания понятия нужно рассмотреть упражнения по составлению объектов, относящихся к определенному комбинаторному понятию. Эти упражнения должны носить внутримодельный характер. Упражнения лучше давать на карточках. Систему упражнений и задач можно подобрать из.
Занятие №7. Самостоятельная работа.
В начале занятия учащиеся должны самостоятельно заполнить таблицу, представленную в презентации (слайд 23), что будет способствовать систематизации и актуализации знаний, полученных на предыдущем занятии.
Вариант 1
1. Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника, используя буквы A, B, C, D, E и F?
2. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?
3. Сколькими способами можно разделить 6 различных конфет между тремя друзьями?
4. Сколько различных маршрутов может избрать пешеход, решив пройти 9 кварталов, из них 5 на запад и 4 на юг?
5. В магазине продают кепки трёх цветов: белые, красные и синие. Наташа и Лена покупают себе по одной кепке. Сколько существует различных вариантов покупок для этих девочек?
6. Каждая из 5 подруг собирается вечером пойти либо в кино, либо на каток. Сколькими различными способами эти пять подруг смогли бы провести вечер?
Вариант 2
1. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами A, B, C, D, E, F, G, K?
2. Сколькими способами можно разложить 12 различных деталей по трем ящикам?
3. Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?
4. В библиотеке Кате предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами она может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?
5. Найти число различных способов, которыми можно записать в один ряд 6 плюсов и 4 минуса.
6. В списке класса для изучения английского языка 15 человек. Сколько существует вариантов присутствия (отсутствия) этих людей на занятии?
Занятие №8. Некоторые свойства сочетаний.
Этот вопрос можно предложить учащимся в качестве самостоятельной работы.
I.
а) Составьте всевозможные сочетания по 2 элемента без повторений из элементов множества М={а, б, в, г, д}. Для каждого из составленных подмножеств выпишите дополнения - трехэлементные подмножества оставшихся элементов - и сравните число тех и других. Какой вывод можно сделать о числах
и 
?б)Из n элементов некоторого множества составлены всевозможные k-элементные подмножества и соответствующие им дополнения — (n-k) – элементные подмножества оставшихся элементов. Какой вывод можно сделать о сравнительной величине чисел
и 
?