Смекни!
smekni.com

Методика обучения школьников основам комбинаторики теории вероятностей и математической статистики (стр. 7 из 15)

в) Воспользуйтесь формулой подсчета числа сочетаний без повторений и докажите равенство

=
. Это равенство выражает одно из важных свойств сочетаний. Им удобно пользоваться для вычисления
в случае k>
n.

г) Не производя вычислений, выберите равные из следующих чисел:

,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.

д) Вычислите

,
,
.

е) Множество М={а, б, в, г, д, е} разбейте всеми возможными способами на два подмножества так, чтобы в одно из них входило 2 элемента, а в другое - 4.

ж) Из 12 человек нужно составить 2 волейбольные команды по 6 человек в каждой. Сколькими способами это может быть сделано?

II. Докажите следующее свойство сочетаний:

+
+
+…+
=2n.

а) Возьмите множество М={а, b, с} из трех элементов и составьте k-элементные подмножества М /k=0, 1, 2, 3/.

Каждому подмножеству поставьте в соответствие последовательность из трех цифр – единиц и нулей – следующим образом: каждому из трех элементов а, b, с поставьте в соответствие 1, если он входит в подмножество, 0 – если он в подмножество не входит. Рассмотрите таблицу

Таблица 1.

Виды подмножеств Число подмнож. Подмножества Последовательности из 1 и 0
Пустые
Æ 000
Одноэлементные
{a}, {b}, {c} 100, 010 ,001
Двухэлементные
{ab}, {ac}, {bc} 110, 101 ,011
Трехэлементные
{a, b, c}| 111

Число всех подмножеств множества М равно

+
+
+
и равно числу всех последовательностей длины три из единиц и нулей. Число таких последовательностей нетрудно подсчитать: каждое из трех мест в последовательности может быть занято 1 или 0, то есть двумя способами, а все три места – по принципу умножения – 2×2×2=23 способами. Это число можно получить и по формуле подсчета числа размещений с повторением, таким образом,
+
+
+
=23.

б) Проведите аналогичные рассуждения для множества из n элементов. Тогда какие изменения следует внести в таблицу? Сделайте вывод, результат запишите.

Занятие №9. Свойство сочетаний

=
+
и треугольник Паскаля.

I. Для изучения следующего свойства сочетаний предварительно составим трехэлементные подмножества множества М={а, б, в, г, д}. Затем выберем из множества М любой элемент, например, «а» и разобьем все подмножества на два класса: не содержащие «а» и содержащие «а».

I класс: {б, в, г}, {б, в, д}, {б, г, д}, {в, г, д}

II класс: {а, б, в}, {а, б, г}, {а, б, д}, {а, в, г},

{а, в, д}, {а, г, д}.

Первый класс состоит из всевозможных сочетаний без повторений по три элемента из следующих четырех: б, в, г, д. Таких сочетаний

. Каждое подмножество второго класса состоит из элемента «а» и двух элементов, выбираемых из множества следующих элементов: б, в, г, д. Очевидно, число таких подмножеств равно
.

Подмножества I и II классов исчерпывают все трехэлементные подмножества множества М, что означает:

=
+
.

Аналогичными рассуждениями получите равенство:

=
+
.

Убедитесь в справедливости последнего равенства, воспользовавшись формулой подсчета числа сочетаний без повторений.

II. Составим таблицу значений

при различных значениях n и k. В таблицу 2 занесем значения
=1,
=1,
=1,
=1,
=2,
=1. Заполните остальные строки таблицы, используя свойство сочетаний.

Займемся изучением таблицы 2.

Первые и последние элементы любой строки равны 1, так как

=
=1. Это равенство будем считать верным и при n=0 (пустое множество своим единственным подмножеством имеет самое себя).

Любой другой элемент таблицы 2 согласно свойству сочетаний, на основании которого составлена таблица, равен сумме двух элементов предшествующей строки: стоящего непосредственно над ним и стоящего над ним слева.

Часто числа

располагают в таблице иначе, так, что каждый элемент таблицы равен сумме двух чисел предшествующей строки, стоящих непосредственно над ним слева и справа. Тогда таблица принимает форму равнобедренного треугольника.

Исследованием свойств такой треугольной таблицы и применениями ее занимался выдающийся ученый Франции Блез Паскаль (1623 —1662). Поэтому рассматриваемую таблицу часто называют треугольником Паскаля. Хотя задолго до Паскаля этот треугольник встречался в работах итальянских и арабских математиков.

Отметим некоторые из свойств треугольника Паскаля.

1. Сумма чисел k-той строки равна 2k: ранее было доказано, что

+
+
+…+
=2k.

Таблица 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

2. Числа каждой строки треугольника, равноудаленные от ее концов, равны между собой. Обоснованием этого свойства служит равенство

=
.