Методика обучения школьников основам комбинаторики теории вероятностей и математической статистики (стр. 7 из 15)
в) Воспользуйтесь формулой подсчета числа сочетаний без повторений и докажите равенство
= 
. Это равенство выражает одно из важных свойств сочетаний. Им удобно пользоваться для вычисления в случае k> 
n.г) Не производя вычислений, выберите равные из следующих чисел:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, , 
, 
, 
, 
, 
.д) Вычислите
, 
, 
.е) Множество М={а, б, в, г, д, е} разбейте всеми возможными способами на два подмножества так, чтобы в одно из них входило 2 элемента, а в другое - 4.
ж) Из 12 человек нужно составить 2 волейбольные команды по 6 человек в каждой. Сколькими способами это может быть сделано?
II. Докажите следующее свойство сочетаний:
+ 
+ 
+…+ 
=2n.а) Возьмите множество М={а, b, с} из трех элементов и составьте k-элементные подмножества М /k=0, 1, 2, 3/.
Каждому подмножеству поставьте в соответствие последовательность из трех цифр – единиц и нулей – следующим образом: каждому из трех элементов а, b, с поставьте в соответствие 1, если он входит в подмножество, 0 – если он в подмножество не входит. Рассмотрите таблицу
Таблица 1.
| Виды подмножеств | Число подмнож. | Подмножества | Последовательности из 1 и 0 |
| Пустые |  | Æ | 000 |
| Одноэлементные |  | {a}, {b}, {c} | 100, 010 ,001 |
| Двухэлементные |  | {ab}, {ac}, {bc} | 110, 101 ,011 |
| Трехэлементные |  | {a, b, c}| | 111 |
Число всех подмножеств множества М равно
+ 
+ + и равно числу всех последовательностей длины три из единиц и нулей. Число таких последовательностей нетрудно подсчитать: каждое из трех мест в последовательности может быть занято 1 или 0, то есть двумя способами, а все три места – по принципу умножения – 2×2×2=23 способами. Это число можно получить и по формуле подсчета числа размещений с повторением, таким образом, + + + 
=23.б) Проведите аналогичные рассуждения для множества из n элементов. Тогда какие изменения следует внести в таблицу? Сделайте вывод, результат запишите.
Занятие №9. Свойство сочетаний 
= 
+ 
и треугольник Паскаля.
I. Для изучения следующего свойства сочетаний предварительно составим трехэлементные подмножества множества М={а, б, в, г, д}. Затем выберем из множества М любой элемент, например, «а» и разобьем все подмножества на два класса: не содержащие «а» и содержащие «а».
I класс: {б, в, г}, {б, в, д}, {б, г, д}, {в, г, д}
II класс: {а, б, в}, {а, б, г}, {а, б, д}, {а, в, г},
{а, в, д}, {а, г, д}.
Первый класс состоит из всевозможных сочетаний без повторений по три элемента из следующих четырех: б, в, г, д. Таких сочетаний
. Каждое подмножество второго класса состоит из элемента «а» и двух элементов, выбираемых из множества следующих элементов: б, в, г, д. Очевидно, число таких подмножеств равно 
.Подмножества I и II классов исчерпывают все трехэлементные подмножества множества М, что означает:
= 
+ 
.Аналогичными рассуждениями получите равенство:
= 
+ 
.Убедитесь в справедливости последнего равенства, воспользовавшись формулой подсчета числа сочетаний без повторений.
II. Составим таблицу значений
при различных значениях n и k. В таблицу 2 занесем значения 
=1, 
=1, 
=1, 
=1, 
=2, 
=1. Заполните остальные строки таблицы, используя свойство сочетаний.Займемся изучением таблицы 2.
Первые и последние элементы любой строки равны 1, так как
= 
=1. Это равенство будем считать верным и при n=0 (пустое множество своим единственным подмножеством имеет самое себя).Любой другой элемент таблицы 2 согласно свойству сочетаний, на основании которого составлена таблица, равен сумме двух элементов предшествующей строки: стоящего непосредственно над ним и стоящего над ним слева.
Часто числа
располагают в таблице иначе, так, что каждый элемент таблицы равен сумме двух чисел предшествующей строки, стоящих непосредственно над ним слева и справа. Тогда таблица принимает форму равнобедренного треугольника.Исследованием свойств такой треугольной таблицы и применениями ее занимался выдающийся ученый Франции Блез Паскаль (1623 —1662). Поэтому рассматриваемую таблицу часто называют треугольником Паскаля. Хотя задолго до Паскаля этот треугольник встречался в работах итальянских и арабских математиков.
Отметим некоторые из свойств треугольника Паскаля.
1. Сумма чисел k-той строки равна 2k: ранее было доказано, что
+ 
+ 
+…+ 
=2k.Таблица 2
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … | |
| 0 | 1 | … | ||||||||||
| 1 | 1 | 1 | … | |||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | … | ||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | … | |||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | … | ||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | … | |||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | … | ||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | … | |||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | … | ||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | … | |
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 | … |
| … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … | … |
2. Числа каждой строки треугольника, равноудаленные от ее концов, равны между собой. Обоснованием этого свойства служит равенство
= 
.