Методика обучения школьников основам комбинаторики теории вероятностей и математической статистики (стр. 8 из 15)
2. Члены любой строки треугольника Паскаля до середины строки возрастают, а затем убывают.
Задания:
1. Сколько различных подмножеств имеет множество всех цифр?
2. Сколько различных делителей, включая 1, имеет число а)2∙3∙5∙7∙11? б) 195?
3. Сколько различных произведений, кратных 10, можно составить из множителей 2, 7, 11, 9, 3, 5?
4. С помощью свойства сочетаний
= 
+ 
докажите равенство: 
+ 
+ 
+…+ 
= 
.5. Пользуясь треугольником Паскаля, найдите числа
, 
.6. Напишите 11 строку треугольника Паскаля.
Занятие №10. Бином Ньютона.
Это занятие можно построить на подготовленных учениками ранее в качестве домашнего задания докладах по данной теме.
В процессе самостоятельной подготовки докладов учащиеся овладевают навыками работы с научно-популярной и справочной литературой.
Занятие №11. Решение задач.
Блок задач должен содержать задачи на простое однократное применение какой-либо формулы, задачи, решаемые бесформульными методами, комбинированные задачи.
1. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки и письма?
2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?
3. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?
4. Сколько можно составить пятибуквенных слов из 7 гласных и 25 согласных букв, если гласные и согласные должны чередоваться?
5. Сколько существует пятизначных четных чисел, в которых ни одна цифра не повторяется дважды?
6. Сколько четырехбуквенных слов можно составить из букв слова «кибитка»?
7. Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
8. Сколькими способами можно выбрать 3 краски из имеющихся 5 различных красок?
9. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?
10.Во скольких девятизначных числах все цифры различны?
11.Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 123153?
12.Сколько существует семизначных телефонных номеров, в первых трех цифрах которых не встречаются 0 и 9?
13.Сколькими способами можно выбрать из натуральных чисел от 1 до 30 три натуральных числа так, чтобы их сумма была четной?
14.На прямой взято p – точек, а на параллельной ей прямой еще g – точек. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?
15.В комнате n лампочек. Сколько всего разных способов освещения комнаты, при которых горит ровно k лампочек?
16.Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?
17.Сколькими способами можно рассадить n гостей за круглым столом?
18.Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно составить посылку из 3 книг и 5 журналов?
19.Сколько трехзначных чисел, оканчивающихся цифрой 3?
20.Сколько ожерелий можно составить из 7 различных бусин?
21.Сколькими способами можно разбить множество из 20 элементов на два подмножества так, чтобы одно содержало 3 элемента, а другое – 17?
22.Сколькими способами можно разложить на шахматной доске две ладьи так, чтобы они не били друг друга?
23.Сколько различных двухзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, если цифры в числе могут повторяться?
24.Сколько различных предсказаний о распределении 3 трудовых мест можно сделать, если в соревновании принимают участие 10 человек?
25.Сколькими способами можно выбрать 4 числа из 10?
26.В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым по одной партии, всего было сыграно 36 партий. Определите число участников турнира.
27.В классе имеется 6 сильных математиков. Сколькими способами из них можно составить команду на районную олимпиаду по математике, если от класса можно послать команду от 2 до 4 человек?
28.Сколько различных направлений задают на плоскости вершины треугольника?
29.Из колоды в 36 карт наугад выбирают 2 карты. Сколько возможно случаев, в которых обе карты окажутся тузами?
Занятие №12. Комбинаторика вокруг нас.
К данному итоговому занятию каждый из учащихся должен подготовить проект на тему «Приложения комбинаторики» (в химии, астрономии, геометрии, физике, биологии, теории вероятности, логике, программировании). Это могут быть доклады, сообщения, сопровождающиеся наглядностью, презентации и прочие. Учащиеся могут пользоваться любыми ресурсами, в том числе электронными. Можно им порекомендовать книгу.
Раздел 2. Элементы теории вероятности.
Этот раздел элективного курса представляет собой чрезвычайно яркую, интересную и своеобразную область математики.
Изучение материала сопровождается рассмотрением разнообразных игровых и жизненно интересных примеров с непредсказуемым однозначным результатом. Рассмотрение случайных событий, некоторые трудности психологического характера, вызываемые необычностью объектов изучения, делают курс непростым для усвоения.
Занятие №1. Предмет теории вероятностей. События.
На вводном занятии надо рассказать учащимся о возникновении теории вероятности, об ученых, стоящих у ее истоков. Причем, по мере рассказа учителя, учащиеся могут делать доклады по биографии упомянутых ученых. Темы доклады нужно распределить заранее.
В обыденной жизни, давая какие-либо прогнозы, мы нередко употребляем выражения «вероятность», «вероятно». Например, мы говорим: «Вероятно, сегодня вечером будет дождь». Причём мы отдаём себе отчёт, в каких событиях «мало» вероятности, в каких – «много».
Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в XVIII столетии подбрасывал монету 4040 раз – герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в нале прошлого века подбрасывал её 24000 раз – герб выпал 12012 раз. В 70-х г.г. XX века американские естествоиспытатели повторили опыт. При 10000 подбрасываниях герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.
Теория вероятностей и изучает закономерности, управляющие массовыми случайными событиями.
С случайными событиями (или явлениями), то есть с такими, которые могут либо произойти, либо не произойти в результате какого-то испытания, мы встречаемся в жизни очень часто.
Ученик извлекает билет – это испытание. Появление при этом билета №13 – случайное событие, билета №5 – другое случайное событие. Выбор наугад какой-то страницы в книге – это испытание. То, что первой буквой на этой странице окажется «м» – это случайное событие.
Например, рассмотрим следующие события:
| №№ | Условие | Исход |
| А1 | При нагревании проволоки | её длина увеличится |
| А2 | При бросании игральной кости | выпадут 4 очка |
| А3 | При бросании монеты | выпадет герб |
| А4 | При осмотре почтового ящика | найдены три письма |
| А5 | При низкой температуре | вода превратилась в лёд |
События А1, А5 произойдут закономерно, А2, А3, А4 – случайные.
Событие, которое в данном испытании неизбежно наступит, называется достоверным, а событие, которое в данном испытании никогда не появится – невозможным.
Какие из следующих событий достоверны:
| А | Два попадания при трёх выстрелах | + |
| В | Выплата рубля семью монетами | + |
| С | Наугад выбранное случайное число не больше 1000 | + |
| D | Наугад выбранное число, составленное из цифр 1,2,3 без повторений, меньше 400 | + |
| E | Выпадение семи очков при бросании игральной кости | - |
| F | Получение пятёрки на экзамене | + |
Назовите невозможные события: