Элективный курс по математике для классов спортивно-оборонного профиля (стр. 3 из 8)
P( 
)=P( 
)+P( 
)+P( 
)=
=P(А)Р( 
)Р( 
)+Р( 
)Р(В)Р( )+Р( )Р( )Р(С)
Вспомним как вычисляется вероятность противоположного события: Р(Ā)=1-Р(А)
Применив данную формулу, вычислим вероятность и в итоге получим, что
P( )=0,1438.
в) Составим отрицание к событию рассматриваемому в пункте а). Если событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень, то тогда 
- ни одни из стрелков не попадет в мишень. Следовательно для решении данной задачи требуется найти Р( ). Вычислим при помощи формулы противоположного события:
Р( 
)=1- Р( 
)=1-0,99=0,01.
Задачи для самостоятельного решения:
1.1
Из всех участников всероссийского турнира по легкой атлетике наудачу выбирают одного. Пусть событие А состоит в том, что выбранный участник соревнуется в беге на 100м, B – победитель чемпионата России, С – является мастером спорта. Описать события: Ā
B, А 
Ā С, А\( А В). Справедливы ли следующие отношения: А С 
В,А
Ā С=А.1.2
Игральный кубик бросается дважды, найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 4.
1.3
Известно, что среди 40 участников имеются 10 мастеров спорта. Среди всех участников случайным образом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуют ровно 2 мастера спорта.
1.4
На карточках написаны буквы: А, З, И, К, Л, Т, У, У, Ф, Ь. Вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают в том порядке в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово ФИЗКУЛЬТУРА.
1.5
Во всероссийском дне бега каждому участнику присваивался определенный четырехзначный номер. И была проведена акция всем тем у кого на номере встречаются два раза цифра 7 получают в подарок кружку. Определите сколько кружек должен приготовить спорткомитет.
1.6
Хоккейная команда состоит из 30 человек, среди которых имеется 14 больных игроков. Все больничные карточки кто-то украл и кабинета доктора и ни один больной хоккеист не сознается в том, что он болен, так как все хотят играть. Найти вероятность, что в стартовой пятерке игроков два окажутся больными.
1.7
Из 30 экзаменационных вопросов студент знает 20. Какова вероятность того, что он правильно ответит на два вопроса из двух?
1.8
Из колоды карт (52 карты) наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что это будет тройка, четверка и туз.
1.9
В лотерее 100 билетов, среди них один выигрыш во 100 р, 3 выигрыша по 50 р, 6 выигрышей по 20 р и 15 по 3 р. Найти вероятность какого-нибудь выигрыша при покупке трех билетов. Что вероятнее: выиграть не менее 50 р или не более 50 р при покупке одного лотерейного билета?
1.10
Даны вероятности p=P(f), q=P(B), r=P(A
B). Найдите вероятность следующих событий: P(A B), P(Ā B).1.11
Брошены 6 игральных костей. Найдите вероятности следующих событий: а) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков; б) ровно на трех гранях появится 6 очков; в) хотябы на трех гранях появится не менее трех очков.
1.12
Какое наименьшее число костей надо бросить, чтобы наивероятнейшее число выпадений шестерки было равно 5?
1.13
Вероятность безотказной работы прибора равна 0.7. Для повышения надежности этот прибор дублируется несколькими такими же приборами (если один откажет, то начинает работать другой). Сколько дополнительно приборов надо взять, чтобы повысить надежность работы до 0.99?
1.14
Два равносильных игрока играют в шахматы. Ничьи во внимание не принимаются. Что вероятнее: а) выиграть три партии из четырех или четыре партии из шести; б) выиграть не менее трех партий из четырех или не менее четырех партий из шести?
1.15
В связи с распадом футбольной команды из 30 человек, руководством было принято решение 15 человек отправить играть в московскую команду, 8 человек в Пермскую команду и 7 человек в Киров. Места распределялись случайным образом. Какова вероятность того, что два друг попадут в один город.
1.16
Для победы игроку необходимо забросить один мяч в кольцо. Найти вероятность того, что команда выиграет, если можно кинуть мяч всего четыре раза, вероятности попадания которых равны 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
2. Задачи, использующие формулу полной вероятности и формулу
Бейеса
2.1 Условная вероятность
Определение. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(В) и обозначается Р(А/В):
.Условная вероятность обладает следующими свойствами:
1. если
то Р(А/В)=12. если
Ø, то Р((А+В)/С)=Р(А/С)+Р(В/С)3.
2.2 Формула полной вероятности
Определение. Пусть задано некоторое вероятностное пространство (Ω, F, P). Тогда совокупность событий А1, А2, …, Аn называется полной группой событий, если выполняются следующие условия:
а) А1 А2 …, Аn=Ω;
б) Аi Aj=Ø, 
;
г) Р(Ак)>0.
Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Нам также известны вероятности
, 
, …, 
. Как можно найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает теорема:Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:
P(А)= 
.
Эту формулу также называют формулой полной вероятности.
2.3 Формула Бейеса
Составим задачу: Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Так как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности:
, 
, …, 
.