Элективный курс по математике для классов спортивно-оборонного профиля (стр. 5 из 8)

Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд

сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х_i; p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

3.3 Биноминальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р, тогда вероятность не появления q=1-p. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появления события А в этих испытаниях.

Найдем закон распределения величины Х. Событие А в n испытаниях может появиться либо не появиться, Следовательно Х может принимать следующие значения х₁=0, х₂=1, х₃=2, и так далее. Вероятность данных значений можно найти используя формулу Бернулли:

Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Данный закон назван биноминальным потому, что правую часть равенства

можно рассматривать, как общий член разложения бинома Ньютона.

Напишем биноминальный закон в виде таблицы:

Х	n	n-1	…	k	…	0
p			…		…

3.4Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности к появлений события А используют формулу Бернулли. Если n велико то пользуются формулой ЛапласаЮ однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (p<0.1). В этих случаях (n велико, а р – мало). Используют формулу Пуассона:

Где

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти значения

, если нам известны

и к.

3.5 Математическое ожидание и дисперсия

Как известно закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Также для решения многих задач не нужно знать распределения случайной величины, а достаточно знать лишь некоторые обобщающие числовые хараткеристики этого распределения.

Одной из таких характеристик является математическое ожидание. Для более наглядного определения рассмотрим подход к этому понятию на конкретном примере.

Пусть имеется дискретная случайная величина Х, которая может принимать значения х₁, х₂, …, х_n. Вероятности которых соответственно равны р₁, р₂, …, р_n. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством:

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество всевозможных значений, то

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

М(С)=С.

2. Постоянный сомножитель можно выносить за знак математического ожидания

М(СХ)=СМ(Х).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

М(ХУ)=М(Х)М(У).

4. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании

М(Х)=np.

Для непрерывных случайных величин дисперсию можно найти по следующей формуле:

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x)

D(Х)=M[X-М(Х)]².

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой:

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания

D(Х)=M(X)²-[М(Х)]².

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна 0

D(С)=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

D(СХ)=С²D(Х).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

D(Х+У)=D(X)+D(У).

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

D(Х-У)=D(X)+D(У).

5. дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна n произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании:

D(Х)=npq.

Для оценки рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие величины.

Средним квадратическим отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии

3.6 Вероятность попадания в заданный интервал

Очень часто интересует вопрос: какова вероятность, того что изучаемый признак находится в заданных границах. Например, вероятность того, что результат в беге на 100 м для группы испытуемых окажется в пределах 11,5 – 12,5 с.

Для этого пользуются функцией Лапласа:

P[x₁<(X-μ)<x₂]=Ф(

)-Ф(

Решение задач

Задача 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения Х: х₁=50; х₂=1; х₃=0. Вероятности этих возможных значений равны: р₁=0,01; р₂= 0,1; р₃=1-(0,01+0,1)=0,89.

Напишем исходный закон распределения:

Х	50	10	0
p	0,01	0,1	0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1

Задача 2. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие в пути повредиться равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу придут 3 негодных изделия.

Решение. По условию n=5000, р=0,0002, к=3. Найдем

=np=1

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна:

Задача 3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
p	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем математическое ожидание:

Найдем всевозможные значения квадрата отклонения:

Напишем закон квадрата отклонения:

[Х-М(Х)]²	1,69	0,09	7,29
p	0,3	0,5	0,2

По определению:

Используя формулу D(Х)=M(X)²-[М(Х)]²можно найти дисперсию гораздо быстрее: