Знаходження похідної функції (стр. 4 из 6)

У складній функції

присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

– похідна функції у по аргументі х;

– похідна функції у по аргументі u;

– похідна функції u по аргументі х;

Теорема. Похідна складеної функції

знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція

має похідну в точці х₀, а функція має похідну в точці u₀= , тобто існують границі , і .

Нехай, аргументу х₀ надано приросту

, тоді змінна u набуде приросту . Поскільки одержала приріст , то функція у одержить також приріст . Приріст зумовив виникнення приросту і .

Подамо

. Перейдемо до границі при (при цьому ).

або .

Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х³-1)⁵.

Розв’язання

у = (3х³-1)⁵ – складена функція

, де u =3х³-1, тоді , .

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3х³-1:

.

Приклад 2.Знайдіть похідні функцій:

а)

; б)

;

в)

; г)

.

Розв’язання

а)

;

б)

;

в)

;

г)

.

Виконання вправ.

1. знайдіть похідні функцій:

а) у = (3х+2)⁵⁰; б) (6-7х)¹⁰;

в)

; г)

.

Відповідь: а)

; б) ;

в)

; г) .

2. Знайдіть похідні функцій:

а)

; б) ;

в)

; г) .

Відповідь: а)

; б) ;

в)

; г) .

ІІІ. Підведення підсумків уроку

При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.

Таблиця диференціювання

,де

IV. Домашнє завдання

Розділ VII § 4. запитання і завдання для повторення до розділу VII № 23–28. вправа № 10 (6, 10, 14, 22).

ТЕМА УРОКУ: Похідна показникової, логарифмічної та степеневої функцій

Мета уроку: Формування знань учнів про похідну показникової, логарифмічної та степеневої функції(з довільним дійсним показником), умінь учнів в знаходженні похідних функцій.

І. Перевірка домашнього завдання

1.Перевірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці.

6)

;

10)

;

11)

;

22)

.

2. Виконання усних вправ.

Знайдіть похідні функцій, які подано в таблиці.

Таблиця

	1	2	3	4
1
2
3		=
4

ІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну показникової функції