б) f(x)= . Решение воспользуемся правилом нахождения первообразных №3 (если функция y=g(x)имеет первообразную y=G(x) ,то функция y=g(tx+m)имеет первообразнуюy= G(tx+m)), т.е. t= –15, m=4 , а g(x)= , следовательно
F(x)=
. Ответ: F(x)= +С.в) f(x)=
. Ответ: F(x)= –2tg(π/3–x);г) f(x)=7–3x+6x2–4x3. Ответ:F(x)=7x –1,5x2+2x3 –x4;
д) f(x)=2сos(2x–1). Ответ: F(x)=sin(2x-1).
2. Найдите неопределённый интеграл
a)
Решение: воспользуемся правилами нахождения неопределённого интеграла: .Ответ:
б)
. Ответ: 8 ; в) . Ответ: 2х –0,25х4 –0,5х –2+С;г)
; Ответ: –0,25(3+8х)–2–0,5sin2x; д) . Ответ: 0,5х2–sinx –4x –4;3. Вычислите интегралы: a)
. Решение: воспользуемся формулой Ньютона–Лейбница . . Ответ: б) . Ответ: 1; в) . Ответ: 20;4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y= , y=0, x=–1, x=1. Фигура ограниченная данными линиями является криволинейной трапецией и её площадь равна:
Ответ: 0,4.Блок 1 Тест самоконтроля
1. Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:
a) F(x)=3–sinx, f(x)=cosx, xÎ(- ; );
б) F(x)=5– , f(x)= – 4 , xÎ(- ; );
в) F(x)=соsx–4, f(x)= – sinx, xÎ(- ; );
г)F(x)=3x+ , f(x)= , xÎ(0; )?
Ответ: нет, да, да, нет.
2. Правильно ли вычислены интегралы:
а)
; б) ; в) ; г) ; д) ?Ответ: нет, да, нет, да, да.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=0, x=0, x=p.
Ответ:2.
4. Верны ли равенства:
а)
; б) ; в) ;г)
д) ;е)
?Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) нет; д) да; е) нет.
Блок 1 Контрольный тест Вариант 1
1. Найдите неопределённый интеграл:
а)
; б) ; в) ; г) ;д)
; е) .2. Вычислите интегралы:
а)
; б) ; в) ; г) .3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=1– x3, y=0, x=0;
б) y=sinx, y=0, x=p/6, x=p/3.
Блок 1 Контрольный тест Вариант 2
1. Найдите неопределённый интеграл:
а)
; б) ; в) ; г) ;д)
; е) .2. Вычислите интегралы:
а)
; б) ; в) ; г) ;3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) y=x4, y=1;
б) y=2sinx, y=0, x=p/6, x=p/3.
Блок 2 Задачи
1. Найдите неопределённый интеграл:
а)
. Решение: заметим, что подынтегральная функция не является функцией из таблицы в явном виде, поэтому её необходимо преобразовать: , интеграл от полученной функции легко вычисляется: . Ответ: +С.б)
. Решение: аналогично примеру под буквой а) упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем интеграл: .Ответ:
.2. Для функции f(х)=2cosx найти первообразную, график которой проходит через точку М(–0,5p;1). Решение: Найдём множество первообразных функции f(x), F(x)=2sinx+C, известно что график первообразной проходит через точку M, значит F(-0,5π)=1, но F(x)=2sinx+C, следовательно
, откуда С= –1. Ответ: F(x)=2sinx –1.3. Вычислите интеграл:
; Решение: упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем определённый интеграл: . Ответ: .