Методика решения задач повышенной трудности в старших классах средней школы (стр. 6 из 12)
1) 10, 10, 16; 3) 12, 12, 14;
2) 10, 16, 16; 4) 12, 14, 14;
Первый вариант отпадает сразу, так как в этом случае третий бегун отстанет от второго.
По аналогичной причине отпадает второй вариант (третий бегун обгонит первого). Остаются два варианта. Соответственно имеем две системы (уравнения составляются на основании условия равенства времени, затрачиваемого на маршрут бегунами):
и 
Для каждой системы легко выразить
и 
через 
. Для первой системы 
, 
, - наибольшая сторона; причем 
< 
и 
> 
, так как 
> 
. Треугольник тупоугольный. Для второй системы 
> 
т.е. этот случай невозможен.Ответ. Треугольник тупоугольный (тупым является угол АСВ).
2. Вася и Петя победили между собой 39 орехов. Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшихся другому. Квадрат трети числа орехов, доставшихся Пете, меньше числа орехов, доставшихся Васе. Сколько орехов у каждого?
Решение. Если мы обозначим через x и y количество орехов, доставшихся соответственно Васе и Пете, то без труда составим систему из одного уравнения и трех неравенств:
Сложность задачи в третьей части – в решении системы. При этом мы должны помнить, что x и y – целые положительные числа. Из уравнения найдем
. Для y будем иметь систему из трех неравенств: 
Из первых двух неравенств найдем
. Последнее неравенство перепишем в виде 
Можно, конечно, решить это неравенство. Но лучше поступить иначе. Поскольку y – целое положительное число, то при 
будем иметь 
, а при 
будет 
, то 
. Таким образом, 
.Ответ. 25 и 14 орехов.
3. Пункт А находится на берегу реки, ширина которой 400 м, скорость течения 3 км / ч. Пункт В расположен ниже по течению в 4 км от А (если В1 – проекция В на берег, на котором расположен А, то АВ1=4 км), на расстоянии 2 км 680 м от противоположного берега (А и В – по разные стороны реки). Турист выехал из А на лодке, пересек реку, оставил на берегу лодку, дошел до В и вернулся тем же путем. На всех участках, по реке и по суше, он двигался прямолинейно. Скорость лодки в стоячей воде 5 км / ч, скорость передвижения туриста пешком 3,2 км / ч. За какое наименьшее время мог проделать свое путешествие турист?
Решение. Пусть турист приплыл в точку С на противоположном берегу. Причем СD = x, где D – пункт, противоположный А (рис. 1,а) ( АD перпендикулярен берегам ). Если время на прохождение участка АС равно t1, то на участке CD можно найти такую точку С1, что AC1 = 5t1, C1C = 3t1.
Это означает, что вектор
- путь, реально пройденный лодкой, мы представляем в виде суммы двух векторов: 
- путь, пройденный лодкой,если бы не было течения, и
- путь лодки под воздействием одного течения. 
Рис. 1 а)
Записав для треугольника AC1D теорему Пифагора, получим
или
. (1)Аналогично, если t2 – время на пути от C до A, определив точку С2 ниже С так, что
, получим для t2 уравнение 
. (2)Поскольку t1 и t2 – положительные корни соответственно уравнений (1) и (2), то
есть время передвижения на лодке. Время движения по суше равно
.Таким образом, время, затраченное на путешествие, будет:
Рис. 1 б)
Рассмотрим два прямоугольных треугольника PNM и KLP: катеты одного x и 0,32, другого 4-x и 2,68, расположенных, как показано на рисунке 1,б. Тогда
.Длина ломанной KPM будет минимальной, если точка P лежит на отрезке
KM . Но
.Таким образом, минимальное время будет:
(ч).Ответ. Наименьшее время, за которое турист мог проделать свое путешествие
часа [21].2.2 Методика решения уравнений и неравенств
Уравнения и неравенства ‑ традиционная тема школьного курса математики, занимающая большое место, начиная с младших классов, где простейшие уравнения и неравенства до введения теории на основе свойств арифметических действий, и кончая старшими классами, где решаются трансцендентные уравнения.
Уравнения и неравенства представляют собой тот алгебраический аппарат, тот язык, на который переводятся разного рода задачи, в том числе и прикладные, строятся их математические модели.
Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Одну из наиболее часто встречающихся идей хорошо иллюстрирует решение следующего простого неравенства:
1. Решить неравенство:
.Решение. Есть два стандартных пути решения: возведение в квадрат (при условии
; если же 
, неравенство выполняется) и замена неизвестного 
.Рассмотрим еще один способ – нестандартный. Функция, расположенная в левой части, монотонно возрастает, в первой части убывает. Из очевидных графических соображений следует, что уравнение
имеет не более одного решения, причем если x0 – решение этого уравнения, то при 
будет 
, а решением данного неравенства будет 
. Значение x0 легко подбирается: x0 = 1.Ответ.
[16].2. Решить уравнение: 
.
Решение. Данное уравнение имеет очевидное решение x = 1. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на
, получим 
. Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, т.е. данное уравнение имеет единственное решение.