Методика решения задач повышенной трудности в старших классах средней школы (стр. 9 из 12)

.

Так как

при , то достаточно решить неравенство , т.е. . Полагая и построив график функции (рис. 2), устанавливаем, что

или

. В эти интервалы значения не входят.

Ответ.

, где

.

2. Решить неравенство:

.

Решение. Преобразуем левую часть равенства:

Остается решить неравенство

, т.е. . Полагая и построив график функции (рис.2) находим

или

. Отсюда .

Ответ.

.

3. Решить неравенство:

.

Решение. Последовательно преобразуя левую часть неравенства, получим

Итак, имеем неравенство

или . Полагая , с помощью графика функции (рис.3),

устанавливаем, что

, откуда , т.е. , .

Ответ.

, [6].

2.3 Особенности решения задач с параметрами

Общеизвестно, что на вступительных экзаменах в вузы часто встречаются задачи, которым в «традиционном» школьном курсе в силу различных причин уделяется мало внимания.

Одним из видов таких упражнений являются задачи, содержащие параметры. В школьных учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако овладение методикой их решения мне кажется очень полезным: оно существенно повышает уровень логической подготовки учащихся, позволяет чуть по-новому, как бы изнутри взглянуть на такие «банальные» функциональные зависимости, подробно анализируемые школьной программой, как, к примеру, линейные и квадратные многочлены.

Уравнения и неравенства с параметрами. В подобного рода задачах встречаются два вида символов: неизвестные или переменные (обычно обозначаются буквами x, y, z,…) и параметры (a,b,c,…). Конечно разница между ними весьма условна, в известной степени можно сказать, что параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему). Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра.

Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, вдохнуло, если так можно выразиться, новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений и неравенств.

1. Решить уравнение:

.

Решение. Возводим обе части в квадрат (условие

):

Еще раз возводим в квадрат (условие

). Получаем окончательное уравнение

,

среди решений, которого надо найти те, для которых

Получившееся уравнение имеет четвертую степень относительно неизвестного , но зато является квадратным относительно параметра . Попробуем этим обстоятельством воспользоваться:

Найдем дискриминант:

Теперь левая часть уравнения раскладывается на множители

Наше уравнение распадается на два:

и ,

каждое из которых надо решить при условии, что

Начнем с уравнения

. Поскольку то из того, что , следует, что . Значит, нам достаточно найти лишь те решения, для которых ; тогда неравенство будет выполняться автоматически. Но сумма корней (если они есть) равна ; следовательно, уравнение может иметь лишь один неотрицательный корень при условии . Значит, при будет .

Перейдем ко второму уравнению

. Из этого уравнения . Левая часть неположительная, правая неотрицательная. Равенство возможно лишь, если .

Ответ. Если

, то ;

если

, то ;

при остальных

решений нет [21].

2. При каких значениях параметра а уравнение

имеет корни сумма которых равна нулю?

Решение. Это уравнение – квадратное, его дискриминант

.

Сумма корней уравнения равна

и по условию задачи она равна нулю, т.е. , что возможно при . Теперь необходимо осуществить контроль неотрицательности дискриминанта при этих значениях . При дискриминант положителен, тогда как при дискриминант оказывается отрицательным.