Викладення теми Трикутники по програмі курсу геометрії в 7 класі середньої школи (стр. 5 из 5)

7. Зовнішній кут трикутника та його властивості

Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний з кутом трикутника при цій вершині (рисунок 7.1).

Рис.7.1. До визначення зовнішнього кута трикутника [5]

Щоб не плутати кут трикутника при даній вершині із зовнішнім кутом при цій же вершині, його іноді називають внутрішнім кутом.

Теорема 7.1. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів не суміжних з ним.

Доведення.

Нехай

- даний трикутник (рисунок 7.2).

Рис.7.2. До теореми 7.1 [5]

По теоремі про суму кутів трикутника

.

Звідси витікає, що

.

У правій частині цієї рівності стоїть градусна міра зовнішнього кута d трикутника.

Теорема доведена.

З теореми 7.1 витікає, що зовнішній кут трикутника більше будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним. Задача 7.1. У трикутнику

проведена висота . Яка із трьох точок лежить між двома точками, якщо кути й трикутника гострі? Рішення. Точка не може лежати між точками й (рисунок 7.3),

Рис. .7.3. До задачі 7.1 [8]

то гострий кут

як зовнішній кут трикутника був би більше прямого кута . Точно так само доводиться, що й точка не може лежати між точками й . Виходить, точка лежить між точками й .

8. Нерівність трикутника

Якщо точки

й різні, то відстанню між ними називається довжина відрізку . Якщо точки й збігаються, то відстань між ними приймається рівною нулю.

Теорема 8.1 (нерівність трикутника).

Які б не були три точки, відстань між будь-якими двома із цих точок не більше суми відстаней від них до третьої точки.

Це значить, що кожна із цих відстаней менше або дорівнює суми двох інших.

Доведення.

Нехай

- три дані точки. Якщо дві точки із трьох або всі три точки збігаються, то твердження теореми очевидно.

Якщо всі точки різні й лежать на одній прямій, то одна з них лежить між двома іншими, наприклад

. У цьому випадку . Звідси видно, що кожне із трьох відстаней не більше суми двох інших.

Допустимо тепер, що точки не лежать на одній прямій (рисунок 8.1).

Рис.8.1. До доведення нерівностей в трикутнику [8]

Доведемо, що

. Опустимо перпендикуляр на пряму . По доведеному . І тому що й , те .

Теорема доведена.

Помітимо, що у випадку, коли точки не лежать на одній прямій, у нерівності трикутника строга нерівність. Звідси витікає, що в будь-якому трикутнику кожна сторона менше суми двох інших сторін.

Задача 8.1. Доведіть, що будь-яка хорда окружності не більше діаметра й дорівнює діаметру тільки тоді, коли сама є діаметром.

Розв’язок (рисунок 8.2).

Рис.8.2. До задачі 8.1 [8]

По нерівності трикутника

, причому якщо центр не лежить на відрізку , то нерівність строга. Рівність має місце тільки у випадку, коли хорда проходить через центр, тобто є діаметром.

Висновки

У 2007-2008 навчальному році учні 7х класів вперше розпочали навчання за новими навчальними планами і програмами 12 річної школи. Новими навчальними планами передбачено, що в 7 9 класах вивчатиметься два математичні курси: алгебра і геометрія.

Кількість годин на вивчення геометрії не змінилась і складає 1,5 години на тиждень. За новою програмою курс геометрії будується на досвідно-дедуктивній основі. Основні геометричні поняття запозичуються з досвіду, а теореми доводяться дедуктивно з використанням неповної системи аксіом. Основний апарат доведення - ознаки рівності трикутників і метод доведення від супротивного.

7 клас - Геометрія (1 год на тиждень у І семестр - 16 год, 2 год на тиждень у ІІ семестрі - 38 год, всього 54 год)

№ п/п	Назва теми	Кількість годин	Кількість тематичних оцінювань
I	Найпростіші геометричні фігури та їх властивості	4	діагностичне
II	Взаємне розташування прямих на площині	12	1
III	Трикутники	18	1-2
ІV	Коло і круг. Геометричні побудови	14	1
V	Повторення і систематизація навчального матеріалу	6	1

Навчання математики у 7х класах загальноосвітніх навчальних закладах з 2007/2008 навчального року здійснюється за новими підручниками:

“Геометрія. 7 клас” (автори Бурда М.І., Тарасенкова Н. А) видавництва “Освіта”;

“Геометрія. 7 клас” (автори Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н. Г) видавництва “Вежа”;

“Геометрія. 7 клас” (автор Апостолова Г. В) видавництва “Ґенеза”;

“Геометрія. 7 клас” (автори А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір) видавництва “Гімназія”.

Ці підручники створено у відповідності до Державного стандарту та нових програм з геометрії для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів.

Список використаної літератури

1. Апостолова Г.В. Геометрія: 7: дворівн. підруч. для загальноосвіт. навч. закл. / Г.В. Апостолова. - К.: Генеза, 2009. - 304 с.

2. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н. Г “Геометрія.7 клас” - К.: ”Видавництва “Вежа””, 2008 - 224 с.

3. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. “Геометрія.7 клас” - К: „Видавництво “Освіта”", 2008. - 198 с.

4. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 3е изд. - М.: Просвещение, 1992. - 335 с.

5. Дергачов В.А. Геометрія у визначеннях, формулах і таблицях: Довідковий посібник для учнів 7-11 класів. - X.: Веста: Видавництво „Ранок”, 2006. - 96 с.

6. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір М.С. “Геометрія.7 клас” - К:, „Видавництво “Гімназія”", 2008. - 352 с.

7. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев, Э.Г. Позняк, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 488 с.

8. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А.В. Погорелов. - 2е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 224 с.