Методы обучения математике общая характеристика и классификация (стр. 4 из 5)

Пример: Доказать, что 3= -3.

Док-во: Пусть 3=-3

3²=(-3)² – возвели почленно в квадрат 9=9 и получили истинное утверждение, значит, и исходное (требуемое) утверждение верно (!?).

II. б) Восходящий анализ:

Дано: Окружность; CD, AB – хорды, AB

CD=M.

Доказать: AM∙MB=CM∙MD.

Док-во: не известно, верно ли доказываемое равенство, но если получим пропорцию:

, будем иметь подобия треугольников: AMD~ CMB. А это возможно в случае равенства соответствующих углов:

1= 2, т.е. BCD= BAD – как вписанные;

3= 4, т.е. ADC= ABC – как вписанные.

Восходящий анализ проиллюстрировал процесс сведения задачи к подзадачам.

Идея этого метода: для того чтобы А было верно, достаточно, чтобы было верно В и так далее.

Преимущество этого метода в процессе изучения математики: а) восходящий анализ обеспечивает сознательное и самостоятельное отыскание метода доказательства теоремы самими учащимися; б) Способствует развитию логического мышления; в) обеспечивает осознанность, целенаправленность действий на каждом этапе доказательства; г) схема метода проста: что требуется доказать? Что для этого достаточно доказать?

III. в) Нисходящий анализ.

Задача. Доказать, что квадрат медианы, проведенной к катеты прямоугольного треугольника, сложенный с утроенным квадратом половины этого катета, равен квадрату гипотенузы.

Дано:

ABC, C=90⁰, BM – медиана: AM=MC

Доказать:

(1)

Док-во: рассмотрим

BCM. Он прямоугольный, тогда: (2) в уравнение (1):

(3) (4).

Получили второе неравенство. Но сказать, что этим самым задача решена, неверно. Нисходящий анализ приводит к синтетическому рассуждению. Для получения логического доказательства необходимо провести все рассуждения в обратном порядке.

IV. г) Анализ и синтез при решении геометрических задач на построение.

Пример: Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе С и радиусу r вписанной в него окружности.

Анализ. Пусть задача решена сделаем эскиз.

ABC построим, если построим AOB;

AOB построим, зная AB=C, OK=h и AOB.

AOB=180⁰-( A+ B)/2=180⁰-45⁰=135⁰.

треугольник по данным С,

AOB, h построить можем.

Синтез: Строим

ABC, начиная с построения AOB по данным С, AOB, h.

Задача. Построить четырехугольник, если даны все его четыре стороны и известно, что одна из диагоналей делит один из углов пополам.

Анализ. Пусть задача решена, сделаем эскиз.

Поиск проведем через синтез, т.е. исходя из того, что нам известно:

BAC= CAD строим D₁, симметричную D относительно AC, тогда СD₁=СD D₁BC можно построить по трем сторонам, если AB=a; BC=b; CD=c; AD=d BC=b; D₁C=c;D₁B=a-d.

V. д) Анализ и синтез при решении текстовых задач.

Задача. Длина прямоугольного параллелепипеда 8м, ширина 6м, а высота 12 м. найдите сумму площадей его наибольшей и наименьшей граней.

Данная задача – арифметическая. Проанализируем ее. Что надо знать для того, чтобы найти требуемую сумму? – ТК она является прямоугольником, то достаточно знать его ширину и длину. Можем ли мы найти искомые площади?– Наименьшая грань – 6м и 8м, наибольшая грань – 8м и 12 м. Синтез в задаче – ее решение: 6∙8+8∙12=8∙18=144

Ответ: 144 м².

Задача. В двух мешках вместе находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5 % муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках будет одинаковое количество муки. Сколько килограммов муки в каждом мешке?

При решении задач алгебраическим методом. Составление уравнения – анализ, решение полученной математической модели – синтез.

х-0,125х=(140-х)+0,125х; 1,75х=140; х=80кг;

140-х=60 (кг)

Ответ: 80кг; 60кг.

Наиболее распространенный метод – аналитико-синтетический.

Индукция

Переход от частного к общему, от единичных фактов, установленных с помощью наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок (с латинского: induction – наведение).

Использование этого метода рассуждений для получения новых знаний в процессе обучения называют индуктивным методом обучения.

Индукция имеет три значения:

вид умозаключения:

, , 20 и 30 оканчиваются цифрой ноль число, оканчивающиеся нулем, делятся на 10 (истинно);

метод исследования: поиск формулы простого числа:

,,и т.д., – простые числа, однако – число составное;

метод обучения: знакомя учащихся с понятием о высоте треугольника, учитель чертит на доске остроугольный прямоугольный, тупоугольный треугольники и в каждом из них проводит высоту. Из рассмотрения этих чертежей учащиеся приходят к выводу, что если углы прилежащие к основанию треугольника, острые то высота пересекается с основанием, а если один из двух углов, прилежащих к основанию треугольника, тупой, то высота пересекается с продолжением этого основания.