Методика изучения показательной и логарифмической функции в курсе средней школы Простейшие показательные (стр. 2 из 3)
1) обратимость функций, связанное с решением следующих задач: вычислить значение функции
по данному значению аргумента 
и найти значение аргументов, при которых функция принимает данное значение 
. Вторая задача не всегда имеет единственное решение (например, для 
, 
). Функция принимает каждое свое значение в единственной точке области определения, называется обратимой, т.е. если обратима, а число 
принадлежит 
, то уравнения 
имеет решение и притом только одно.2) Обратная функция – как новое понятие – поясняется на конкретных примерах.
Определение. Пусть
- произвольная обратимая функция. Для любого числа из ее области значений имеется в точности одно значение 
, принадлежащее области определения 
, такое, что: 
. Поставив в соответствие каждому 
это значение , получим новую функцию 
с областью определения 
и областью значений .Задача. Найти функцию, обратную функции
Покажем, что уравнения
при любом значении 
имеет единственное решение 
. 
, где 
.Если вспомнить область значения данной функции
, то получаем положительный ответ. Таким образом, наша функция обратима и обратная ей функция 
Алгоритм решения таких задач: найти
и 
данной функции 
; поменять местами в формуле переменные 
, т.е. получить формулу 
и из полученного равенства выразить через .В более сложных случаях (когда функция не является обратимой на всей области определения) следует пользоваться теоремой: об обратной функции:
Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, то она обратима. Обратная к f функция g, определенная в области значений f, также является возрастающей (или убывающей).
Задача. Найти функции, обратные функции y=x2-3x+2.
x=y2-3y+2=y2-2y*3/2+9/4-9/4+2=(y-3/2)2-ј => (y-3/2)2=x+1/4, где x≥-1/4 => y1=3/2+(x+1/4)1/2 и y2=3/2-(x+1/4)1/2.
D(y1)= D(y2)=E(x2-3x+2)=[-1/4;+∞)
Для нахождения областей значений обратных функций обратимся к графику, используя следующее свойство:
Графики функции f и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой y=x.
x2-3x+2=0 => x1=1; x2=2
xв=3/2; yв=-1/4
Из графика видно, что
E(y1)=[3/2;+∞), E(y2)=(-∞;3/2].
4. Методика изучения логарифмической функции, ее свойств и их приложения. Производная показательной и логарифмической функции
Методика изучения логарифмической функции
Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой
называют логарифмической функцией с основанием 
. Основные свойства выводится из свойств показательной функции:1.
,т.к. при решении уравнения
,т.е. любое положительное число
имеет логарифм по основанию 
.2.
,т.к. по определению логарифма любого действительного числа
справедливо равенство: 
,т.е. функции вида
принимает значение 
в точке 
.3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1).
Покажем, что
при a>1 возрастает. Пусть 
и 
, надо доказать, что: 
. Допустим противное, т.е. что 
. Т.к. показательная функция 
при a>1 возрастает, то из неравенства следует: 
, что противоречит выбору 
. Следовательно: 
и функция при a>1 – возрастает.Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции.
Производная показательной и логарифмической функции
Приступая к изучению производной показательной и логарифмической функций, учащиеся знакомятся с новым для них числом e. Необходимость появления этого числа связывается с решением задачи о касательной к графику показательной функции, с угловым коэффициентом, равным 1, т.е. без доказательства принимается следующее утверждение:
существует такое число, больше 2 и меньшее 3 (это число обозначают буквой е), что показательная функция y=ex в точке 0 имеет производную, равную 1, т.е. (eΔx-1)/ Δx - при Δx-0.
Теорема: функция eж дифференцируема в каждой точке области определения и (ex)'= ex. Опр.: Натуральным логарифмом называется логарифмом по основанию е: