Методика изучения элементов математического моделирования в курсе математики 5-6 классов (стр. 10 из 13)
· Составь выражение для задачи и найди его значение:
В классе 25 учеников. Из них после уроков домой ушли 7 человек, а остальные разбились на 3 команды для игры. Сколько человек в каждой команде? (Cм. № 38 (4), [11]).
· Переведи условие задачи с русского языка на математический язык:
На вопрос учеников о прошедшей контрольной работе учитель ответил: «Пятерок на 3 больше, чем двоек, троек на одну меньше, чем четверок, а четверок в 4 раза больше, чем двоек». Сколько человек получили пятерки и сколько четверки, если в классе 32 человека? (Cм. № 39 (2), [12]).
К типу II относятся также следующие задачи:
5 класс, часть 1, [11]: №№ 111 (4), 159 (1,2), 181 (1,4), 182 (2), 196, 213 (1), 275 (2), 278 (1,2), 281, 299, 301, 337 (1,2), 348, 349, 358, 413, 425, 438, 525 (1,2), 559, 563, 569 (1), 595 (1,2), 607, 635, 636, 644, 671 (1,2), 687, 707, 709, 715, 719, 745, 771, 804;
5 класс, часть 2, [12]: №№ 28 (1,2), 40 (1,2), 51, 78 (2), 94 (1,2), 95 (2), 133, 152 (1,2), 154 (1,2,3), 171 (1,2), 176, 184, 194 (1), 204, 206, 240, 249, 250, 253, 287, 304 (1,2), 329 (1), 330, 333 (4), 350, 367, 369, 385 (1), 387 (1,2,4,5), 427 (2), 490, 496, 497, 498, 504, 517, 558 (1,2), 559, 561 (1,2), 562 (1,2), 563 (2), 567 (1,2), 585, 587 (1,4), 595 (1,2), 599 (1,2), 674, 680, 712 (1,2), 778, 779, 834, 1049 (1,3);
6 класс, часть 1, [13]: №№ 17, 24, 57, 116, 130 (1,3,4), 133, 137, 165, 203, 212, 265, 301, 338, 410, 414, 450, 482, 483;
6 класс, часть 2, [14]: №№ 20, 25, 108, 109, 110, 111, 112, 121, 173 (2,3,4), 176 (3), 184, 190, 191, 199, 200, 207, 209 (2,3), 213, 225, 226,229, 230, 240, 241, 249, 250, 252, 256,268, 281, 295, 326, 528 (1,2), 535, 552, 582;.
6 класс, часть 3, [15]: №№ 6 (1), 21, 50 (а), 64, 65, 93, 94, 95, 108, 109, 110, 118, 119, 120, 122, 123, 124, 125 (а), 126, 127 (а), 150, 151, 152, 158, 292, 307, 368, 393, 464, 466, 467, 468, 472, 473, 497, 523, 627, 633, 699, 705, 767.
Ясно, что в учебнике очень много сюжетных задач, содержащих числовые данные, что обосновано целями образования.
Третий тип соответствует комбинации «-», «+» «+». К этому типу относятся задания, в которых нужно составить задачу по схеме или краткой записи. В учебниках Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон такие задачи представлены в следующем виде:
Составь по схемам задачи и найди неизвестные величины (dt –расстояние между объектами через t ч после выхода) (№ 197, [13]):
40 км/ч 80 км/ч
tвстр. = 2,5ч? км s = ? d1,5 = ?
110 км/ч 70 км/ч
t = 2 ч150 км tвстр. = ? d2 = ?
? км/ч 9 км/ч
t = 1,4 ч u = ?? км d1,4 = ? d3,2 = ?
В основном нужно составить задачи на движение в различных направлениях согласно указанным в схемах данным. К этому же типу относятся задачи №№ 215 [13]; 387 [14]; 131, 524, 627 [15].
Четвертый тип характеризуется отсутствием сюжета и величин и наличием значений, то есть это такие задания, в которых нужно составить задачу по числовому выражению, уравнению и т.д. В учебнике к этому типу относятся задачи вида:
· Придумай 3 задачи, решением которых является выражение (№ 115, [13]):
(a – a : 4) :2.
· Придумай ситуацию, математической моделью которой может служить данное выражение, и найди ответ (№ 424, [14]):
а) (-9) + (+4); б) (+6) + (+3);
в) (-5) + (-2); г) (-1) + (+7).
Аналогичные действия нужно выполнить в № 427 [14].
· Составь по данной математической модели задачу и реши ее (№ 496, [14]):
1) 0,48 : (1,6 – 2x) + 5,2 = 6 2) 2 (x -1,8) = 2/3 x.
Пятому типу соответствует комбинация «-», «+», «-», где нужно составить задачу с указанными величинами, например, расстояние, скорость, время; стоимость, цена, количество и др.
· Придумай задачу, приводящую к выражению 3х + 5у, о величинах:
1) путь, скорость, время (S = vt);
2) стоимость, цена, количество товара (C = an);
3) работа, производительность, время (A = vt);
4) площадь прямоугольника, его длина и ширина (S = ab) (см. № 15, [11]).
· Как найти: а) процент от числа; б) число по его проценту; в) процентное отношение двух чисел? Придумай и реши задачи на эти правила. Затем эти же задачи реши методом пропорций. Какой способ ты считаешь более удобным? Почему? (Cм. № 766, [15]).
В учебнике [14] отдельно выделяются задания, в которых нужно составить задачу о «доходах» и «расходах» по заданному выражению.
Например,
· Придумай по выражению задачу о «доходах» и «расходах» и найди ответ (№ 220, [14]):
1) (+3) + (-7); 2) (-5) + (-8); 3) (-1) + (-4).
Аналогичные этому №№ 221, 314 [14].
Авторы анализируемого учебника включили немного задач такого типа. Это можно объяснить тем, что школьники 5-6 класса еще не имеют достаточной подготовки и жизненного опыта решать задачи без числовых значений и сюжета, то есть самостоятельно придумывать задачи.
К шестому типу задач относятся задачи, которые характеризуются только наличием сюжета. Это задачи вида:
· Запиши выражение для ответа на вопрос задачи:
В 5 «А» классе а учеников, а в 5 «Б» классе – на 3 ученика меньше. Сколько всего учеников в этих двух классах? (Cм. № 11 (1), [11]).
· Составь выражение:
Барону Мюнхаузену а лет, а его лошадь на 25 лет моложе. Во сколько раз барон старше своей лошади? (Cм. № 28 (1), [11]).
· В одном классе a человек, а в другом – на 20% больше. Сколько человек в двух классах? (Cм. № 58 (а), [15]).
К этому же типу относятся задачи:
5 класс, часть 1, [11]: №№ 11 (2), 11 (3), 11 (4), 11 (5), 11 (6), 40 (5), 40 (6), 242, 250, 16 (7), 43, 295 (1), 295 (3), 295 (4), 217 (4), 317 (6), 596 (в), 596 (г), 596 (д), 596 (е), 751 (2);
5 класс, часть 2, [12]: №№ 42 (2), 42 (3), 102 (1), 102 (2), 102 (3), 102 (4), 194 (1), 260;
6 класс, часть 1, [13]: №№ 69, 288, 415;
6 класс, часть 2, [14]: №№ 47 (2,5,6), 53 (2), 130 (2,4);
6 класс, часть 3, [15]: №№ 367 (а), 778.
Говоря об обучении действию выбору точности числовых значений, соответствующих смыслу задачи, не имеется в виду формирование понятий и умений, связанных с приближенными вычислениями. Речь идет о привлечении внимания учащихся к тому, что любая математическая модель имеет погрешность. Например, считать массу краски для пола с точностью до грамма неразумно, поэтому необходимо уметь округлять числовые данные в соответствии со смыслом задачи.
Формирование данного действия должно начинаться уже в процессе знакомства учащихся с единицами измерения, что происходит еще в начальной школе. Целесообразно при изучении всех единиц рассматривать, какие объекты на практике измеряются данной единицей.
При обучении округления результата в соответствии со смыслом задачи могут использоваться задания, требующие округления, но без указания точности округления. Для того чтобы показать учащимся необходимость округления, можно использовать задачу: «Сколько нужно заплатить за половину буханки хлеба, если целая буханка стоит 6р. 75 к.?»
Приведем примеры задач, которые могут быть использованы для формирования рассматриваемого действия.
· Длина комнаты 7 м, ширина 4 м, а высота 3 м. Сколько квадратных метров обоев требуется для оклейки комнаты, если площадь окон и дверей составляет 9 м2? Сколько рулонов обоев для этого надо купить, если в каждом рулоне 10 м2 обоев? (Cм. № 280 (2), [11]).
· Расстояние от Москвы до Бреста равно примерно 1100 км. Изобразите шоссе от Москвы до Бреста на тетрадном листе в виде отрезка, подобрав удобный масштаб (см. № 30, [14]).
· В автохозяйстве для каждой модели автомобилей установлена норма износа. По «Волгам» она составляет 11,1% в год. Каков срок службы этого автомобиля? (Cм. № 434, [14]).
При решении задач на практике приходится округлять не только результат, но и исходные числовые данные. Это может происходить, например, при использовании табличных данных, где указана точность более высокая, нежели требуется по смыслу задачи. Средством обучения выбору точности исходных данных могут служить задачи:
а) требующие практических измерений;
б) связанные с чтением и построением графиков;
в) связанные с избыточной точностью числовых данных.
Задачи, требующие практических измерений
· Измерь длину и ширину тетради и вырази результат в дециметрах. Вычисли площадь тетрадного листа и вырази ее в квадратных дециметрах (см. № 741, [12]).
Задачи, связанные с чтением и построением графиков
· На тренировке в 50–метровом бассейне два пловца стартовали одновременно на дистанцию 200 м. Один плыл кролем, другой – брасом. На рисунке приведены графики их движения:
1) Сколько времени затратили пловцы на каждые 50 м и на всю дистанцию?
2) Сколько раз и на каком расстоянии от стартовой стенки бассейна встречались пловцы?
3) С какой скоростью плыл каждый из спортсменов?
4) На сколько секунд раньше финишировал первый пловец?
5) На сколько метров обогнал первый пловец второго к моменту финиша? (Cм. № 468, [12]).
В основном в учебнике обучение выбору точности числовых значений реализуется при построении различных графиков зависимостей.
К этому типу задач относятся также:
5 класс, часть 1, [11]: №№ 330, 345;
5 класс, часть 2, [12]: №№ 111, 112, 129, 179, 548, 592, 638, 649, 890;
6 класс, часть 1, [13]: №№ 55, 77-80, 92, 155, 162, 280, 317, 468, 473;
6 класс, часть 2, [14]: №№ 33, 37, 38, 50, 51,81, 84, 113, 140, 141-144, 154, 155, 173, 175, 176, 178, 189, 190, 265, 288, 374;
6 класс, часть 3, [15]: №№ 146, 155, 158, 198.
Задачи, которые должны использоваться при обучении действию оценки возможности получения результата, представлены в учебнике в небольшом количестве. К ним относятся такие задачи, как:
· В классе 20 учеников. Из них английский язык изучают 15 человек, немецкий – 10, и еще 1 человек изучает французский язык. Возможно ли это? (Cм. № 336, [13]).
· На туристической карте масштаб оказался оторванным. Можно ли его восстановить, если известно, что расстояние от сельской почты до окраины села (по прямой дороге) равно 3,2 км, а на карте это расстояние изображено отрезком длиной 4 см? (Cм. № 49, [14]).
· В городской думе 80 депутатов, среди которых 4 независимых депутата, а остальные представляют интересы трех партий. Число депутатов от первой партии на 20% больше, чем от второй, а число депутатов от второй партии составляет 62,5% числа депутатов третьей. Может ли какая-либо партия заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее 2/3) всех депутатов? (Cм. № 368 (б), [15]).