4. Представления школьников о математическом моделировании весьма ограничены, хотя математическое моделирование играет важную роль в развитии диалектико-материалистического мировоззрения и является мощным методом научного познания. Включение в школьный курс математики уже на ранних этапах обучения понятий «модель» и «моделирование», формирование простейших умений математического моделирования играет важную роль в развитии личности в целом. Обучение моделированию учащихся приводит к повышению эффективности обучения и общеразвивающему эффекту.
Глава 2. Обучение школьников элементам математического моделирования
2.1. Обзор школьных учебников по математике для 5-6 классов с точки зрения наличия элементов математического моделирования
В учебнике по математике для 5 класса Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. [11] уже во втором параграфе предлагается для изучения тема «Математические модели», поэтому далее весь материал опирается на понятия «математическая модель» и «моделирование».
Авторы не дают определение модели, а на примере двух задач показывают, что в двух непохожих ситуациях используется одна и та же математическая модель, сразу указывая на ценность математического моделирования, что одна и та же модель может описывать различные явления. Для того чтобы построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условия задач на математический язык.
Самая распространенная формулировка заданий, характерная для метода моделирования, звучит следующим образом:
· переведи условие задачи на математический язык;
· построй математическую модель задачи и реши ее.
Далее говорится, что после перевода задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.
В 6 классе [12] выделяются этапы процесса математического моделирования, в соответствии с этими этапами выделяются этапы решения задач с помощью уравнений.
Большое внимание уделяется этапу формализации, который вызывает у школьников наибольшие трудности при решении задач.
Для сравнения возьмем учебники по математике для 5 – 6 классов Н. Я. Виленкина и других [6 – 7], Г.В. Дорофеева и И. Ф. Шарыгина [21 – 22], И. И. Зубаревой и А. Г. Мордковича [16 – 17] и определим, какую роль авторы этих учебников отводят моделированию.
В учебниках [6], [7] понятия «модель» и «моделирование» не вводятся ни в 5, ни в 6 классах, соответственно нет задач с формулировкой, характерной для метода моделирования.
В учебнике [22] небольшое внимание уделяется математическому языку, но не встречаются сюжетные задачи, требующие перевода условия задачи с русского на математический язык.
В учебнике [16] изучаются темы «Математический язык», «Математическая модель». Как и в учебнике [11] понятие модели вводится с помощью рассмотрения двух задач, в которых требуется найти значение одного и того же выражения. Выражение, полученное в процессе решения, - это математическая модель реальной жизненной ситуации, о которой говорится в задаче.
Авторы пишут: «Выполняя задания по переводу «обычной» речи на математический язык, мы каждый раз составляли математическую модель данной ситуации. Однако важно не только уметь составлять математические модели, но и выполнять обратную работу – понимать, какую ситуацию (или обстоятельства) описывает данная модель». Так неявно выделяются этапы моделирования: формализация и интерпретация.
Но следует отметить, что задачи, в которых требуется построить математическую модель, встречаются в учебниках [16], [17] очень редко.
2.2. Методика обучения математическому моделированию по учебникам Дорофеева Г. В., Петерсон Л. Г. «Математика-5», «Математика-6»
Учебники Г. В. Дорофеева, Л. Г. Петерсон «Математика-5», «Математика-6» [11 – 15] входят в часть единого непрерывного курса математики и являются продолжением учебника математики для начальной школы авторов Н. Я. Виленкина и Л. Г. Петерсон. Этот курс разрабатывается в настоящее время с позиции развивающего обучения, гуманизации и гуманитаризации математического образования.
Обучение школьников ведется на высоком уровне трудности. Но материал учебников предусматривает возможность работы по ним детей разного уровня подготовки.
Учебники ориентированы на развитие логического мышления, творческих способностей ребенка и интереса к математике. Учебник для 5 класса состоит из двух частей, для 6 класса – из трех. Каждая часть включает в себя две главы. Эти учебники позволяют учащимся самостоятельно добывать знания, а главное учат учиться. С первых уроков ученикам предлагаются задания для формирования умений сравнивать, обобщать, классифицировать, рассуждать. Большая часть заданий требует от учащихся творческого подхода.
Новый материал вводится не через передачу готового знания, а через самостоятельное «открытие» его учениками. Часто задания для закрепления даны в игровой форме (кодирование и расшифровка, отгадывание загадок и т.п.) Учащиеся с огромным удовольствием выполняют эти задания.
В учебнике в системе даны задания на развитие логики, мышления, развитие всех видов памяти, творческих способностей.
«В совершенно различных, на первый взгляд, задачах можно обнаружить, что их решение практически одинаково. Например, если на столе лежат 2 яблока, 2 апельсина и груша, то как найти общее число фруктов? Конечно, 2 + 2 + 1 = 5. Но ведь точно также мы можем определить и число уроков во вторник, зная, что по расписанию будет два урока русского языка, две математики и физкультура.
В этих двух непохожих ситуациях мы использовали одну и ту же математическую модель, складывая не яблоки с апельсинами и не физкультуру с математикой, а натуральные числа.
Для того чтобы построить математическую модель, надо, прежде всего, научиться переводить условие задачи с привычного родного языка на специальный, математический язык, чем мы и займемся в этом пункте,» – так авторы учебника проводят мотивацию изучения математического моделирования еще в самом начале курса математики пятого класса (п. 1, §2, глава 1, [11]). Рассмотренный пример, настолько прост и нагляден, что понятен даже пятиклассникам, и становится ясно, что с помощью модели решать задачу будет проще, но еще не понятно, что именно представляет собой математическая модель.
Далее говорится, что после перевода задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.
В этом же пункте авторы составляют модели пяти разнообразных задач, которые располагаются среди предложенных для решения, в том числе задач, основной сутью которых является отработка навыка перевода задачи на математический язык. Такими задачами являются задачи со следующими формулировками:
· Составь выражения для ответа на вопросы задач (№ 72).
· Придумай задачи, в которых математической моделью являются следующие выражения (№ 73).
· Среди данных задач найди такие задачи, математические модели которых совпадают (№ 74).
· Построй математическую модель (№ 82, № 111).
· Составь схему к задаче (№ 76).
· Переведи условие задачи с русского языка на математический (№ 83, № 87, № 98, №102, № 116).
· Составь таблицу по условию задачи (№ 124).
· Запиши математическую модель задачи, используя для обозначения неизвестных величин буквы x и y (№ 137).
Весь этот пункт направлен на овладение школьниками первым этапом решения задач с помощью математического моделирования. Заметим, что задачи с такими формулировками встречаются не только в этом пункте, но и по всему тексту учебника, например:
5 класс, часть 1, [11]: №№ 244, 338, 410, 436, 502, 507, 531, 680, 704, 767, 788, 789, 796, 797, 828 и другие;
5 класс, часть 2, [12]: №№ 39, 49, 107, 125, 167, 271, 272, 283, 333, 352, 411, 478, 530, 546, 712, 740, 769, 833, 870, 882, 904, 941, 1012, 1101, 1162 и другие;
6 класс, часть 1, [13]: №№ 115, 116, 117, 130, 133, 137, 175, 215 и другие;
6 класс, часть 2, [14]: №№ 20, 25, 220, 221, 314, 423, 424, 495 - 498, 505 - 507 и другие;
6 класс, часть 3, [15]: №№ 6, 10, 21, 24, 131, 626, 627, 633, 683, 700, 706, 729 и другие, что дает возможность сформировать у учащихся не только умения, но и навыки построения математических моделей сюжетных задач.
Но кроме умения строить математические модели необходимо уметь их разрешать и переводить результат на понятный человеку язык. Эти два этапа процесса моделирования авторы объединяют в один, который называют «Работа с математической моделью» (п. 2, §2, глава 1, [11]). Из рассмотренных в этом пункте примеров видно, что после перевода текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математическими моделями – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям. Для получения результата в некоторых задачах достаточно использовать алгоритмы действий с числами (например, № 82, [11]), в других – решение уравнений (например, № 144, [11]). Отсюда следует, что чем больше математических понятий и свойств знают учащиеся, тем больше они имеют возможность для отыскания короткого и простого решения.
При решении математических задач часто бывает так, что исследование полученной математической модели не сводится к известным случаям, то есть у учащихся нет достаточных знаний для исследования той или иной модели. Авторы учебника предлагают два специфических способа исследования математических моделей:
1) метод проб и ошибок;
2) метод перебора.
Рассмотрим на примерах, в чем состоит суть этих методов.
Метод проб и ошибок позволяет найти ответ даже в том случае, когда математическая модель представляет собой новый, еще не изученный объект. Однако при использовании этого метода следует всегда помнить о том, что подбор одного решения не гарантирует полноты решения. Поэтому требуется дополнительное обоснование того, что найдены все возможные решения, и ни одного не пропущено.
Задача. Ширина прямоугольника на 9 см меньше длины, а площадь равна 90 см2. Найти стороны прямоугольника (см. № 168 (2), [11]).