Методика обучения школьников планиметрии с использованием объектных моделей (стр. 3 из 10)

2.1.2 Пространственные модели

Геометрические понятия формируются в процессе наблюдения форм, размеров и взаимного расположения окружающих предметов. С другой стороны, в поисках практических приложений планиметрических знаний мы вынуждены рассматривать пространственные ситуации и выделять в них плоские объекты, на которых действуют изученные нами закономерности.

Эти два обстоятельства объясняют необходимость пространственной точки зрения при изучении планиметрии. Говоря о геометрических телах на первом уроке геометрии необходимо указать геометрические тела, которые будут изучаться в курсе математики – это куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, шар, цилиндр, конус, усеченный конус. Можно сообщить здесь и названия, не давая определений; предварительно полезно убедиться, какие термины известны, какие, не известны детям. Также в беседе с учащимися устанавливаются особенности этих форм, их отличительные признаки [7].

Можно рассмотреть классификацию моделей мотивируя, следующим примером. Первого сентября собрались все учащиеся нашей школы, все перепутались – семиклассники рядом со старшеклассниками и тому подобное. Ставится вопрос:

«С чего начнет руководство школы?»

Ответ:

«Распределить всех по классам».

«А почему?»

Ответ:

«Так как все ученики одного класса одинокого подготовлены.

«Вот так разбиваются все тела на классы, на группы, чтобы найти законы и свойства не отдельного тела, а всего семейства тел данной группы, данного класса».

После этого тела расставляются на столе в некотором порядке. В беседе подводятся итоги наблюдений и устанавливаются черты сходства и различия, устанавливается общее и частное.

На моделях этих тел желательно, чтобы ученики показали поверхности кривые и плоские, линии прямые, кривые и ломаные, точки. Здесь же попутно напомнить термины «грань», «ребро», «вершина».

Можно выполнить серии упражнений на подсчет числа граней, вершин, ребер у куба, пирамиды и т. д. Интересно сопоставить число граней, вершин, ребер куба и прямоугольного, прямого наклонного параллелепипедов (термины не сообщаются). Поможет сделать правильный вывод модель куба, у которой вертикальные ребра сделаны из резинок. В руках учителя модель трансформируется из куба в прямоугольный, затем в наклонный параллелепипед.

Познакомившись с понятиями плоской и пространственной фигур, намечаем мелом на моделях геометрических тел различные плоские и пространственные фигуры (на кубе, на цилиндре, на шаре и др.). Полезно модели этих фигур изготовить из проволоки: окружность и спираль (кривые на цилиндре), квадрат и пространственная ломаная линия из ребер куба и т. п.

Введя понятие равных и неравных отрезков, исследуем, какие отрезки равны и какие не равны у куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды. Вместе с кубом можно рассмотреть прямой параллелепипед, в основании у которого лежит ромб и высота равна стороне основания, и тетраэдр. Выясняется, что не только у куба все ребра равны [7].

При введении понятий «окружность», «круг» сопоставляем плоские кривые замкнутые линии и пространственные (на шаре и цилиндре). Здесь доступны для школьников вопросы типа: «В чем сходство и различие между плоскими и пространственными замкнутыми кривыми на шаре?». Доступен пониманию учащихся показ кругов и окружностей на сечениях шара, цилиндра и конуса. Сечение можно показать наглядно, разрезав яблоко ножом; сечения различной формы получим, налив в стакан цилиндрической формы воду и постепенно наклоняя его. Показав сечение цилиндра в форме эллипса, учитель обращает внимание учащихся, что эту фигуру мы чертим, изображая на плоскости чертежа основание цилиндра или конуса. Дело в том, что если круг наблюдать под разными углами зрения (показывает), то он меняет свою форму от «круглой» до «приплюснутой». Это можно использовать на уроке изучения фигуры эллипса.

При изучении темы ломанные и многоугольники необходимо обратить внимание учащихся, что, пересекая плоскостью конус и цилиндр, можем получить в сечении не только кривые линии, но и ломаные. Демонстрируем соответствующие каркасные или стеклянные модели с выделенными на них сечениями. Понятие «многоугольник» хорошо иллюстрируется на многогранниках. Например, рассматривая пирамиды различных видов, ученики делают вывод, что основание этих тел может являться треугольником, четырехугольником, пятиугольником и т. д. (отсюда соответственно и названия: треугольная, четырехугольная, пятиугольная пирамиды). Зато боковые грани пирамид всегда имеют форму треугольников[7].

Познакомившись с понятием угла (образованного лучами и образованного отрезками), рассматриваем различные углы на моделях геометрических тел, подсчитываем, сколько углов сходится в вершинах этих тел, находим на моделях тупые, прямые и острые углы.

Виды треугольников также хорошо иллюстрируются на пирамидах и треугольных призмах. Приложение понятий «равнобедренный треугольник», «равные стороны», «равные углы» к изучению особенностей правильных в неправильных пирамид позволяет моделировать своеобразный естественнонаучный метод исследования. Напомним, что ученикам неизвестны определения правильных и неправильных пирамид. Эти названия учитель сообщил им методом показа: «Вот эта группа тел - правильные пирамиды, а вот эта неправильные»

Уже в процессе измерения размеров пирамиды и определения формы их граней ученики находят общие признаки пирамид: в основании лежит многоугольник, боковые грани - треугольники, сходящиеся в одной общей вершине. Затем находятся признаки, которые отличают правильную пирамиду от неправильной.

Имея достаточный набор пирамид (по одной паре на парту), можно организовать наблюдения (и запись в тетрадях) по следующей форме (см. таблицу 1):

Таблица 1

Форма для записи наблюдений [38]

№	Пирамида	Форма боковых граней	Форма основания	Размер сторон основания	Углы основания
1	2	3	4	5	6
1	Правильная	Остроугольные равнобедренные треугольники	Пятиугольник	Все стороны по 10 см.	Равные тупые углы
2	Правильная	Тупоугольные равнобедренные треугольники	Четырехугольник (квадрат)	Все стороны равны по 12 см.	Равные прямые углы
Неправильная	Разносторонние треугольники (есть остроугольный, 2 прямоугольных и 2 тупоугольных	Пятиугольник	Все стороны равны по 10 см.	Углы разные

Конечно, сводить результаты наблюдений в одну таблицу нет необходимости. Коллективное подведение итогов может быть организовано так. По вызову учителя ученики сообщают классу о результатах своих измерений (сначала в отношении правильных пирамид, затем неправильных). После нескольких ответов учитель спрашивает, каковы общие черты одноименных пирамид. Опрос продолжается. Еще после 2 - 3 ответов ребята делают вывод: правильные пирамиды обладают следующими общими свойствами: у них боковые грани одинаковые равнобедренные треугольники, а в основании лежит многоугольник с равными сторонами и равными углами.

«Подтверждается ли это наблюдение для остальных правильных пирамид?» спрашивает учитель у тех, кто еще не был опрошен. «У кого правильная пирамида не обладает такими признаками?» (В «спорных» случаях измерение повторяется вновь).

Рассматриваем точно так же результаты измерений неправильных пирамид (во избежание недоразумений правильные и неправильные пирамиды должны отличаться цветом). Выясняется, что равнобедренная форма граней, равенство сторон основания и равенство углов основания также могут наблюдаться у неправильных пирамид. (Правда, не одновременно), но эти признаки не являются обязательными для каждой такой пирамиды [38].

При изучении темы «Треугольники» можно рассматривать сечения треугольной формы куба, параллелепипеда и вообще призм. Для удобства проведения измерений лучше брать каркасные модели. При этом, кроме иллюстраций планиметрических понятий и опознания планиметрических объектов на стереометрических моделях, они могут быть использованы как своеобразные объемные чертежи к планиметрическим задачам. В самом деле, любой чертеж, помещенный в задачнике, можно показать в виде соответствующей грани или разреза стереометрической модели.

Особый интерес представляет рассмотрение двух или трех плоскостных объектов, которые не находятся на одной плоскости. Например, ученикам предлагается доказать, что основания треугольной призмы представляют собой равные треугольники. (Какие элементы оснований необходимо для этого сравнить? Какие возможны при этом варианты?).

Возможен и обратный ход мысли: создание пространственной ситуации после рассмотрения планиметрической задачи. Например, после решения задачи: в треугольнике АDС (рис. 2)

. Что можно доказать? Выясняется, что равенство сторон АС и АD, а также отрезков СВ и ВD можно доказать и в случае, если и лежат в разных плоскостях (треугольник АСD сгибаем по линии AB).