Методика обучения школьников планиметрии с использованием объектных моделей (стр. 5 из 10)

При изучении темы перпендикуляр и наклонная можно на модели показать их зависимость: перпендикуляр, проведенный из какой-либо, точки к прямой, меньше всякой наклонной проведенной из той же точки в этой прямой.

На листе картона (рис.7) начерчены две взаимно перпендикулярные линии АВ и KD. Точка С подвижная, АС - резинка. Передвигая «точку» С (пуговица), получаем различные прямоугольные треугольники, у которых меняющая свою длину наклонная АС служит гипотенузой, а катет АВ не меняется. Так как гипотенуза больше катета, отсюда следует утверждение теоремы.

При доказательстве признака параллелограмма (Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника) можно использовать следующую модель [38]:

Параллелограмм (рис. 8), сделанный из деревянных реечек. Диагональ ВС - резинка, точки А, В, С и D - оси вращения.

При любых положениях модели треугольники АВС и BDC равны друг другу.

При изучении зависимости между дугой окружности и хордой (Большая дуга стягивается большей хордой, большая хорда стягивает большую дугу). Можно использовать следующую модель: на листе картона начерчена половина окружности АСК (рис. 9). Так как равные дуги стягиваются равными хордами и наоборот, то, не теряя общности рассуждений, будем откладывать, сравниваемые хорды и дуги, из точки А. По дуге ВК, могут передвигаться подвижные точки С и Е. Хорды АС и АЕ резинки, радиусы ОС и ОА – нити [38].

При движении модели видно, что если увеличивать дугу, то и стягивающая ее хорда увеличивается (резинка растягивается) и, обратно, увеличение хорды вызывает увеличение дуги. Но это можно не только показать, но и доказать. Каковы бы ни были хорды АС и АЕ, через точки С и Е можно провести прямую (накладываем на точки С и Е прямую стержень, на рисунке он показан пунктиром). Тогда можно видеть, что АЕ больше АС (наклонная, имеющая большую проекцию). Так как дуга АЕ также больше дуги АС и так как это положение модели мы могли получить, либо увеличивая дугу, либо увеличивая хорду, то отсюда и вытекает сделанный вывод. Рассматривая одно из положений модели, приходим к формулировкам учебника.

После того как ученики познакомятся со вписанными углами, можно объяснить тот факт, что перпендикуляр АО будет все время находиться по одну сторону от наклонных АЕ и АС при любых положениях точек С и Е. Этот факт, наблюдаёмый на модели непосредственно, объясняется тем, что вписанный угол АСЕ опирается на дугу, большую полуокружности, и поэтому он всегда тупой, а высота, опущенная в тупоугольном треугольнике из вершины острого угла, всегда лежит вне его [38].

Можно разобрать такую задачу с использованием модели: доказать, что если медиана треугольника равна половине основания, то этот треугольник прямоугольный.

Используем для иллюстрации условия той задачи модель смежных углов (рис. 10). От точки А откладываем равные отрезки АВ, АС и АD), в точках , С и D просверливаем отверстия и прикрепляем резинки СВ и СD.

Доказательство получаем, замечая, что при любом положении модели треугольники АВС и АСD равнобедренные.

После изучения вписанных углов можно разобрать и другое доказательство, основанное на том, что через точки В, С и D при любом положении подвижной модели можно провести окружность с центром в точке А [38].

В случаях, когда доказательство по модели было по каким-то причинам неудобно, все равно изучаемую зависимость мы наблюдали на модели, а уже затем переходили к чертежу – фиксированному положению этой модели.

Для теоремы Пифагора можно использовать следующую модель.

Картонную модель «египетского» треугольника (а = 3; 6 = 4; с=5). С построенными квадратами на его сторонах.

Приведём лишь небольшую деталь в порядке демонстрации этой модели.

Желательно показать модель не всю сразу в развёрнутом виде, а постепенно, так, как производится построение: «Построим квадрат на стороне треугольника а» (и из-за треугольника, обращённого к учащимся, показывается квадрат с площадью, разграфлённой на клетки). Так последовательно появляются все три квадрата. Загибание квадратов за плоскость треугольника требует широких швов присоединения квадратов, что снижает демонстративную ценность прибора. Поэтому целесообразно сохранять картонную модель теоремы Пифагора в более глубокой коробке, вынимание модели производить постепенно, отчего квадраты будут появляться из футляра последовательно: с площадью 32; 42; 52 [38].

При изучении суммы углов треугольника и свойство внешнего угла треугольника можно использовать модели, где имеются накладные углы , которые равны основным углам. Подробно использование таких моделей можно посмотреть далее в опытном преподавании.

Еще одну группу динамических моделей образует группа наглядных пособий, которая называется геометрическим конструктором.

Рассмотрение подвижных моделей следует сочетать с созданием мысленных подвижных образов. Например, решая задачу на построение треугольника по одной заданной стороне, можно мысленно убедиться, что решений здесь бесконечное множество. Достаточно представить в уме подвижную вершину, противоположную данной стороне, чтобы убедиться, что существует множество различных треугольников, имеющих одно и то же основание. Некоторые случаи различного положения вершины можно фиксировать мелом на доске [7].

Мысленное (а затем в случае необходимости фактическое) движение осуществляется, например, когда ученикам предлагается опознать, какие фигуры являются симметричными относительно оси (относительно точки), какие нет.

2.2.2 Геометрический конструктор

Как уже было сказано, к ним относятся шарнирные палочки, шпильки и так далее. Шарнирные модели демонстрируют виды углов (острые, тупые, прямые; вертикальные, смежные; углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей и др.) [38]

При знакомстве с углом существенным является представить себе правильно, что эта фигура характеризует степень отклонения угла. В частности такого угла может и не быть, в этом случаи лучи совпадают и угол равен 0. В то же время учащемуся трудно уяснить процесс непрерывного изменения угла. При использовании раздвижной шарнирной модели это явление становится наглядным и очевидным.

Опишем следующий порядок использования такой модели. Сперва учитель показывает некоторый угол, медленно уменьшает его до нуля, затем увеличивает до угла больше 900. Учащиеся во время демонстрации делают зарисовки в тетради и видят множество углов, среди которых, заданный является частным случаем. Полезно также показать, что удлинение стороны угла не изменяет его величины, это можно сделать, если растянуть или сдвинуть штабики (рис.11), образующие стороны угла [7].

Шарнирные подвижные модели углов встречаются либо набором моделей, либо в виде отдельных пособий. Недостатками модели являются:

1. Плохая конструкция муфты, дает грубое представление геометрическому образу-прямой линии.

2. Неудачный шарнир не позволяет образовать ни малых углов, ни нулевого положения.

3. Модель искажает понятие вершины угла.

Но это можно разрешить, если использовать вместо планки металлическую трубку и стержни, входящие в них [7].

Другие шарнирные модели из набора восьми моделей показывают смежные, вертикальные углы, углы при параллельных прямых и др. Эти модели также найдут себе применение для того, чтобы помочь учащимся выявить динамическую сущность вопросов.

Фигура треугольника настолько проста для представления и настолько знакома учащимся из окружающей обстановки, что не нуждается ни в другом изображении, кроме чертежа. Речь может идти иллюстрации на моделях преобразования треугольника из одного вида в другой. В этом смысле чертежи указывают лишь, очень небольшое количество образов; один вид переходит в другой разрывно, скачкообразно. На модели же форма изменяется непрерывно, и перед глазами учащихся проходит множество видов треугольников [7].

Вместе с углами и сторонами в треугольнике приходится изучать такие элементы, как медиана, перпендикуляр к стороне в её середине (медиатриса), высота и биссектриса. Было бы недостаточно выучить их определения и построить эти линии, в одном - двух треугольниках; необходимо пронаблюдать на подвижной модели, как располагается каждая из них в равнобедренном, правильном, прямоугольном, тупоугольном треугольниках и как они располагаются друг относительно друга.

При трансформации треугольника указанные элементы расположатся иначе: в прямоугольном треугольнике (рис. 12 б) высота 1 совпадёт со стороной (катетом), биссектриса остаётся левее медианы. По мере приближения треугольника к равнобедренному, внутренние элементы его сближаются и, наконец, совпадают: в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса угла при вершине сливаются (рис. 12 в). Перемещая вершину В вправо, мы увидим, что биссектриса переместится и станет вправо от медианы, а высота, постепенно смещаясь, займёт крайнее правое место по отношению к ним (рис. 12 г) [7].

Перечисленные сопоставления помогут глубже представить себе существо дела и свободнее разобраться в задачах, где встречаются различные построения; например, построить равнобедренный треугольник по медиане и высоте, опущенной на боковую сторону, и т. п.