или

.
Особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных функций:
1) они изучаются на базе функционального материала;
2) появляются позже тождества первой группы и изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований.
В первую группу заданий цикла должны войти задания на установление связи этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел.
Пример.
Вычислить:

;

;

.

.
Цель таких заданий – освоение особенностей записей, включающих символы новых операций и функций, и в развитии навыков математической речи.
Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и транцендетных уравнений. Последовательность шагов:
а) найти функцию φ, для которой данное уравнение f(x)=0 представимо в виде:
F(φ(x))=0;
б) произвести подстановку y=φ(x) и решить уравнение
F(y)=0;
в) решить каждое из уравнений φ(x)=yk, где yk-множество корней уравнения F(y)=0.
При использовании описанного способа зачастую шаг б) выполняется в неявном виде, без введения обозначения для φ(x). Кроме того, ученики зачастую предпочитают из различных путей, ведущих к нахождению ответа, выбирать тот, который быстрее и проще приводит к алгебраическому уравнению.
Пример. Решить уравнение 4x-3*2=0.
1)

;
2)(22)x-3*2x=0 (шаг а)
(2x)2-3*2x=0; 2x (2x -3)=0; 2x-3=0. (шаг б)
Пример. Решить уравнение:
а) 22x-3*2x+2=0;
б) 22x-3*2x-4=0;
в) 22x-3*2x+1=0.
(Предложить для самостоятельного решения.)
Классификация заданий в циклах, относящихся к решению транцендетных уравнений, включающих показательную функцию:
1) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида аx=y0 и имеющие простой, общий по форме ответ:
x=logay0;
2) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида аx= аk, где k- целое число, или аx=b, где b≤0.
3) уравнения, сводящиеся к уравнениям вида аx=y0, и требующие явного анализа формы, в которой явно записано число y0.
Большую пользу приносят задания, в которых тождественные преобразования используются для построения графиков при упрощении формул, задающих функции.
Пример.
а) Построить график функции y=

;
б) Решить уравнение lgx+lg(x-3)=1
в) на каком множестве формула lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x2-25) является тождеством?
Использование тождественных преобразований в вычислениях.(ж. Математика в школе, №4, 1983, стр.45)
Задача№1. Функция задана формулой y=0,3x2+4,64x-6. Найдите значения функции при x=1,2
y(1,2)=0,3*1,22+4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.
Задача№2. Вычислите длину катета прямоугольного треугольника, если длина его гипотенузы равна 3,6см, а другого катета- 2,16см.

Задача№3. Какова площадь участка прямоугольной формы, имеющего размеры а) 0,64м и 6,25м; б) 99,8м и 2,6м?
а)0,64*6,25=0,82*2,52=(0,8*2,5)2;
б)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.
Эти примеры позволяют выявить практическое применение тождественных преобразований. Учащегося следует ознакомить с условиями выполнимости преобразования.(см. схемы).
- изображение многочлена, где в круглые контуры вписывается любой многочлен.(схема 1)
-условие выполнимости преобразования произведения одночлена и приведено выражение, допускающее преобразование в разность квадратов. (схема 2)
-здесь штриховки означают равные одночлены и приведено выражение допускающее преобразование в разность квадратов.(схема 3)
- выражение, допускающее вынесение общего множителя.
Сформировать умения учащихся по выявлению условий можно с помощью следующих примеров:
Какие из следующих выражений могут быть преобразованы вынесением общего множителя за скобки:
1)

2)

3) 0,7а2+0,2b2;
4)

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x2+3x2+5y2;
7) 0,21+0,22+0,23.
Большинство вычислений на практике не удовлетворяют условиям выполнимости, поэтому учащимся необходимы навыки приведения их к виду, допускающему вычисления преобразований. В этом случае целесообразны такие задания:
при изучении вынесения общего множителя за скобки:
данное выражение, если это возможно, преобразуйте в выражение, которое изображается схемой 4:
1) 15a+121b;
2) 26m-2,6n;
3) 7xy+14y2;
4) 2а*а2*а2;
5) 2n4+3n6+n9;
6) x3+x2+x;
7) (a+1)2;
8) 15ab2+5a2b;
9) (ac)2+2ac;
10) 12,4*
-1,24*0,7;11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,82-108;
13)

14) 5*22+7*23-11*24;
15) 2*34-3*24+6;
16) 62+82;
17) 62-82;
18) 3,2/0,7-1,8*

19) 11*27-8*13.
При формировании понятия «тождественное преобразование» следует помнить, что это означает не только то, что данное и полученное выражение в результате преобразования принимают равные значения при любых значениях входящих в него букв, но и то, что при тождественном преобразовании мы переходим от выражения, определяющего один способ вычисления, к выражению, определяющему другой способ вычисления того же значения.
схема 5Можно схему 5(правило преобразования произведения одночлена и многочлена) проиллюстрировать на примерах
0,5a(b+c) или 3,8(0,7+
).Упражнения для изучения вынесения общего множителя за скобки:
Вычислите значение выражения:
а) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;
б) a+bc при a=0,96; b=4,8; c=9,8.
в) a(a+c)-c(a+b) при a=1,4; b=2,8; c=5,2.
Проиллюстрируем на примерах формирование умений и навыков в вычислениях и тождественных преобразованиях.(ж. Математика в школе, №5, 1984, стр.30)
1) умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если их формирование происходит на сознательной основе (дидактический принцип сознательности).
Пример:
1) Можно сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями или предварительно на конкретных примерах рассмотреть суть сложения одинаковых долей.
2) При разложении на множители вынесением общего множителя за скобки важно увидеть этот общий множитель и затем применить распределительный закон. При выполнении первых упражнений полезно каждое слагаемое многочлене записать в виде произведения, один из множителей которого- общий для всех слагаемых:
3a3-15a2b+5ab2= a3a2-a15ab+a5b2.
Особенно полезно так поступать, когда за скобки выносится один из одночленов многочлена:

II. Первый этап формирования навыка – овладение умением (упражнения выполняются с подробными объяснениями и записями)

(первым решается вопрос о знаке)