Использование элементов ТРИЗ-педагогики в обучении школьников математике (стр. 7 из 22)
Пример 1. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Укажите такие размеры окна, чтобы при данном периметре Р оно пропускало больше света.
Данный пример – практико-ориентированная задача, и её решение заключается в применении производной (задача на максимум и минимум). Четкое формулировка условия задачи, все необходимые данные в явном виде, метод решения представляет собой цепочку формальных операций. Поэтому это задача, а не ситуация.
Пример 2. Как можно, не переплывая реки, измерить ее ширину [59, 60].
Данный пример – ситуация. Из условия не совсем ясно, чем можно пользоваться, какая река. Она имеет разные подходы к решению, причем в каждом подходе мы переходим к формулировке новой задачи (модели задачи).
1-ый способ. Используем прибор с тремя булавками на вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника. Пусть требуется определить ширину АВ реки (рис. 5), стоя на том берегу, где точка В, и не перебираясь на противоположный.
Встав где-нибудь у точки С, держите булавочный прибор близ глаз так, чтобы, смотря одним глазом вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают точки В и А. Понятно, что, когда это вам удастся, вы будете находиться как раз на продолжении прямой АВ. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок (перпендикулярно к прежнему направлению) и заметьте какую-нибудь точку D, покрываемую этими булавками, т.е. лежащую на прямой, перпендикулярной к АС. После этого воткните в точку С веху, покиньте это место и идите с вашим инструментом вдоль прямой CD, пока не найдете на ней такую точку Е (рис. 6), откуда можно одновременно покрыть для глаза булавкой b шест точки С, а булавкой а – точку А. Это будет значить, что вы отыскали на берегу третью вершину треугольника АСЕ, в котором угол С – прямой, а угол Е равен острому углу булавочного прибора, т.е. половине прямого. Очевидно, и угол А равен половине прямого, т.е. АС = СЕ.
Если вы измерите расстояние СЕ, например, шагами, вы узнаете расстояние АС, а отняв ВС, которое легко измерить, определите искомую ширину реки.
2-ой способ. Здесь также находят точку С на продолжении АВ и намечают при помощи булавочного прибора прямую CD под прямым углом к СА (рис. 7).
На прямой CD отмеряют равные расстояния СЕ и EF произвольной длины и втыкают в точки E и F вехи. Став затем в точке F с булавочным прибором, намечают направление FG, перпендикулярное к FC. Теперь, идя вдоль FG, отыскивают на этой линии такую точку H, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Это будет означать, что точки Н, Е и А лежат на одной прямой. Задача решена: расстояние FH равно расстоянию АС, от которого достаточно лишь отнять ВС, чтобы узнать, искомую ширину реки.
Другие способы разрешения ситуации, использующие признаки подобия треугольников, прямоугольный треугольник с углом в 30° можно посмотреть у Я. И. Перельмана [60].
При разрешении данной ситуации мы сначала переходили к задаче (модели задачи), формулировали ее на математическом языке, и только после чего ее решали. В первом способе мы ставили перед собой задачу: используя известный равнобедренный прямоугольный треугольник измерить длину отрезка АВ. Во втором способе: использовать признаки равенства треугольников для нахождения длины отрезка АВ. Рассмотрим другой пример.
Пример 3. Задача древних индусов (перевод В.К. Лебедева).
Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Воле цветка над водой,
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода
Здесь глубока?
Обозначим (рис. 8) искомую глубину CD пруда через
. Тогда, по теореме Пифагора легко найди искомую глубину. 
Это задача, у неё четкое формулировка условия, все необходимые данные в явном виде, метод решения представляет собой цепочку формальных операций. Попробуем превратить данную задачу в ситуацию.
Пример 4. Как можно измерить глубину реки с берега
Контрольное решение: рассмотрим ресурсы с точки зрения ТРИЗ, которыми мы располагаем. Текущая вода, берег, дно, человек. Упростим задачу. Как измерить с берега глубину водоема с неподвижной водой? Например, с берега озера. Тоже непросто, упростим еще. Как измерить глубину неподвижной воды у самого берега. А это равносильно измерению глубины колодца. Надо привязать к камню веревку или леску с поплавками, разнесенными, скажем, на 1 метр и бросить камень в колодец, или может помочь метод из примера 3. А как измерить глубину озера с берега? Во-первых, надо чтобы веревка была перпендикулярна поверхности воды. Как это сделать? На веревку с камнем навесим поплавки и бросим камень в нужное место озера, тогда будет видно, сколько поплавков утонуло, а сколько лежит на поверхности.
Введем следующее усложнение задачи – течение. Отметим место на берегу реки и перпендикулярно берегу бросим камень с веревкой и с поплавками на середину реки. Течение отнесет веревку с поплавками на расстояние В. Определим число погруженных поплавков K и рассчитаем по теореме Пифагора глубину реки
.В данном примере мы снова переходили от ситуации к формулировке задачи (модели задачи), уточняли ее, рассматривали используемые ресурсы. Вариантов решения у данного примера скорее очень много, они опираются на использование каких-либо свойств, причем некоторые решения нематематические.
Переход от задачи к ее модели для решения достаточно хорошо применяется в основной школе, а переход от ситуации к задаче применятся редко, «неосознанно», но как показывает первый опыт использования данного перехода [80], именно он может стать опорой для развития творческих способностей у учащихся на уроках математики в школе.
2.2. Мета-алгоритм изобретения ТРИЗ и решение учебных математических задач
ТРИЗ является качественной теорией. Строгое соответствие моделей качественных теорий концепциям конструктивной математики очень упрощенно; можно сказать, что конструктивная математика имеет дело с качественными моделями, определяемыми следующим конструктивным способом [19]: 1) фиксируются исходные конструктивные объекты, определяемые, в частности, в виде примеров или образцов; 2) фиксируются правила (не обязательно аксиоматические), по которым строятся новые объекты из уже имеющихся; 3) фиксируются условия, налагаемые на исходные и построенные объекты и определяющие их конструктивность (например, осуществимость, полезность и эффективность).
Совокупность правил, определяющих построение новых конструктивных образов, называется алгоритмом. Обобщенные алгоритмы, на основе которых могут быть построены специализированные (ориентированные на определенное приложение, на определенный класс моделей) или детализированные (более точные) алгоритмы в ТРИЗ называются мета-алгоритмами [55].
Поэтому логично рассмотреть применение мета-алгоритма ТРИЗ в преподавании математики. Хотя школьная математика отлична от математики [48], но преемственность построения рассуждений сохраняется.
Рассмотрим обобщенную схему мета-алгоритма изобретения (рис. 9, Prof. Dr. Dr. Sc. techn. M. Orloff, Modern TRIZ Academy International, Berlin), а также упрощенный мета-алгоритм для решения некоторого класса учебных математических задач (рис. 10).
Тогда ход решения задачи можно уложить в 4 крупных этапа:
· диагностика (исследование задачи),
· редукция (построение модели задачи (алгебраической, аналитической и др.)),
· трансформация (выбор метода решения (вычисления) модели),
· верификация (проверка решения).
При этом данная схема совпадает с методикой организации решения учебной математической задачи соблюдением формально-логической схемы рассуждения «анализ – построение – доказательство – исследование» при решении геометрических задач на построение и т.п. [39, 82].
Переходы 1 и 3 требуют знания теории моделей и прикладных областей ее применения. Переход 2 требует умения строить и решать модели теории.
Пример 5. В двух цехах завода стоят станки двух типов. Первого типа 2 и 1 соответственно в первом и втором цехе, второго – 6 и 2. Определите среднею мощность, потребляемой станком каждого типа, если первый цех потребляет 340 киловатт-часов, второй – 130.
Решение представим в виде мета-алгоритма (рис. 11).
Пусть в двух цехах завода работает разное количество станков двух типов. Для точного определения средней мощности, потребляемой станком определенного типа, было решено воспользоваться имеющимися измерениями расхода электроэнергии по каждому цеху за сутки. На этапе диагностики проблемы было установлено количество станков каждого типа и данные по потреблению электроэнергии. На этапе редукции была построена система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. На этапе трансформации из двух простейших подходящих методов (метод исключения переменных и метод замены и подстановки переменных) выбрали последний. На этапе верификации путем прямой подстановки полученных значений искомых переменных в исходные уравнения убедились в правильности решения задачи.