· Решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правила умножения.
· Вычислять среднее значения результатов измерений
· Находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные
· Находить вероятность случайных событий в простейших ситуациях.
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
· Анализа реальных числовых данных, представление в виде диаграмм, графиков, таблиц
· Решение учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов
· Сравнение шансов наступления случайных событий, оценка вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставление модели с реальной ситуацией
· Понимание статистических утверждений
2. Анализ статей из журналов «Математика в школе».
Журналы «Математика в школе» содержат ряд статей, в которых рассматриваются различные вопросы по данной теме.
О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. И авторы многих статей говорят о необходимости введения стохастической линии в основную школу.
Бунимович Е.А [2] в защиту этой необходимости приводит следующие аргументы:
1. Социально-экономическая ситуация.
«Нужно научить детей жить в вероятностной ситуации. То есть нужно научить их извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения».
2. Универсальность вероятностных законов.
«Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построен и развивается на вероятностно-статистической базе.
Подросток в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка».
3. Развивающая роль стохастики.
«Преподавание любого раздела математики благотворно сказывается на умственном развитии учащихся, поскольку прививает им навыки ясного логического мышления, оперирующего четко определенными понятиями. Все сказанное в полной мере относится и к преподаванию теории вероятностей, но обучение «законам случая» играет несколько большую роль и выходит за рамки обычного. Слушая курс теории вероятностей, учащийся познает, как применять приемы логического мышления в тех случаях, когда приходится иметь дело с неопределенностью (а такие случаи возникают на практике почти всегда)».
4. Прикладной характер законов теории вероятностей.
«Выводы теории вероятностей находят применение в повседневной жизни, науке, технике и т.д. В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться со случайностью, и теория вероятностей учит нас, как действовать рационально с учетом риска, связанного с принятием отдельных решений. Хорошим примером применения теории вероятностей в повседневной жизни может служить выбор наиболее целесообразной формы страхования. При планировании, например, семейного бюджета зачастую приходится оценивать расходы, носящие в известной мере случайный характер. Знакомство на том или ином уровне с законами случая необходимо каждому. Применение теории вероятностей в науке, технике, экономике и т.д. приобретает все возрастающее значение. Именно поэтому у все большего числа людей в процессе работы возникает необходимость в изучении теории вероятностей. Современный образованный человек независимо от профессии и рода занятий должен быть знаком с простейшими понятиями теории вероятностей. В наши дни, когда прогноз погоды содержит сообщение о вероятности дождя на завтра, каждый должен знать что собственно это означает».
5. Взаимосвязь математики с действительностью.
Помимо значения обучения элементам стохастики, не меньше внимания уделено вопросам о том, что именно и каким образом изучать школьникам.
Возникает много вопросов о содержании, методах, средствах. Разные статьи предлагают различные методические рекомендации.
Бунимович Е.А. делает следующие методические рекомендации при рассмотрении некоторых вопросов теории вероятностей.
«На первом этапе обучения можно отметить, что события достоверные и невозможные лучше не относить к случайным событиям. Опыт преподавания данного материала показал, что школьникам 10-12 лет трудно считать случайными те события, которые происходят всегда, либо не происходят никогда. Понятие случайного события соответственно уточняется на более поздних ступенях обучения. Чтобы доказать, что данное событие – случайное, предлагается привести пример такого исхода, когда событие происходит, и пример такого исхода, когда оно не происходит.
Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. Качественная оценка вероятности события приводит к тому, что при обсуждении в классе на один и тот же вопрос может быть дано несколько разных ответов, которые могут считаться верными, что непривычно на уроке математики и для ученика и для учителя. Например, при обсуждении вероятности наступления события «вам подарят на день рождения собаку» ученики в зависимости от личных обстоятельств могут дать ответы:
«это маловероятное событие»,
«это очень возможное событие»,
«это достоверное событие».
При решении таких задач главное – приводимая аргументация, понимание школьником смысла используемых понятий. Если аргументация вполне логична и разумна, ответ следует считать верным». [2]
О формировании первоначальных стохастических представлений в своей статье говорит Селютин В.Д. [31].
«5-6 классы являются подготовительным этапом, перед изучением стохастики, здесь идет процесс «интуитивных накоплений». Как же следует организовать этот процесс? Прежде всего, путем эксперимента, проводимого самими учащимися. Как утверждает А.Плоцки, «из-за своей специфики стохастика может быть математикой, понимаемой каждым учеником как математика, открытая им самим». Одна из важнейших целей обучения школьников элементам стохастики состоит в целенаправленном развитии идеи о том, что в природе наличествуют статистические закономерности. Важно помочь учащимся правильно осознать реальную действительность, открыть для себя вероятностную природу окружающего мира, показать, что в мире случайностей можно не только хорошо ориентироваться, но и активно действовать.
С помощью каких же средств можно организовать формирование первоначальных стохастических представлений школьников? К таковым можно отнести: стохастические игры, эксперименты со случайными исходами, статистические исследования, мысленные статистические эксперименты и моделирование.
Для проведения экспериментов пока возможно использование подручных средств: кубики, пуговицы, кнопки, самодельные вертушки и т.п. С введением стохастической линии в основной курс средней школы, со временем должны появиться и минимальные наборы математического демонстрационного учебного оборудования». [31]
Проводя эксперименты, учащиеся могут заметить, что те или иные события происходят чаще или реже, относительно других. Таким образом, можно перейти к понятию частоты, а затем и к статистическому определению вероятности.
При классическом подходе определение понятия вероятности для некоторых событий сводится к более простому понятию – равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть и речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.
Из этого вытекает ограничение применения классической вероятности. Классическое определение вероятности «работает» лишь тогда, когда имеется конечное число равновозможных исходов. На практике мы часто встречаемся с ситуациями, где нет симметрии, предопределяющей равновозможность исходов. В таких случаях приходится определять вероятность частотным путем (статистическая вероятность) [34].
По обучению комбинаторике, тоже нет единого мнения.
В статье Ткачевой М.В. [35] содержатся следующие замечания по обучению комбинаторике.
«На первом этапе при изучении комбинаторики следует выработать у учащихся умение составлять комбинаторные наборы и начать с самого простого – составление комбинаторных наборов методом непосредственного перебора. В возрасте 11-12 лет дети способны решать простейшие комбинаторные задачи на целенаправленный перебор небольшого числа элементов определенного множества и составлять всевозможные комбинации (с повторениями и без повторений) из 2-3 элементов. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу комбинаторных формул и закономерностей.
После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Но акцент нужно сделать не на формальном его применении, а на содержательных рассуждениях и понимании сути поставленного в задаче вопроса. Принцип умножения в дальнейшем используется для выведения формул.