После этого идет блок комбинаторики, где рассматривается правило умножения, перестановки, сочетания, формулы числа перестановок и сочетаний, а затем с их помощью решаются задачи на вычисление вероятностей. В отдельных главах рассматриваются геометрические вероятности и испытания Бернулли (о двух возможных исходах).
Следующие несколько глав посвящены случайным величинам: примеры случайных величин, распределение вероятностей случайных величин, их числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия), случайные величины в статистике. Дается определение частоты, и теорема, утверждающая, что частота приближенно равна вероятности при большом числе опытов.
Приложение включает в себя вопросы: формула Бинома-Ньютона, треугольник Паскаля, также имеется несколько самостоятельных и контрольных работ, по предложенному материалу.
Плюсом данного пособия является то, что оно одно из немногих содержит пункты, в которых рассматриваются таблицы и диаграммы. Этот пункт необходим, так как именно таблицы и диаграммы учат учащихся представлению и первоначальному анализу данных.
Не мало внимания уделено случайным величинам и вероятностям, но, я считаю, что некоторые пункты можно рассматривать как дополнительные. А понятия дисперсии и математическое ожидание лучше перенести для изучения в старшие классы. Комбинаторные формулы в данном пособии рассматриваются, как средство для подсчета вероятности и даются после определения вероятности. Но основной целью изучения комбинаторики является развитие мышления, и ее нельзя рассматривать только как средство для подсчета вероятности.
Бунимович Е.А., Булычев В.А.[3]
«Вероятность и статистика. 5-9 классы».
Начинается учебник с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятности (что вероятнее). Затем, опираясь на эксперимент, вводим понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После чего идет пункт с названием «Куда стремятся частоты?», где вводим статистическое определение вероятности, а затем и классическое.
В пункте «вероятность и комбинаторика», рассматриваются правило умножения, правило вычитания и сочетания и их число. Все эти формулы используются для вычисления вероятности. А в пункте «точка тоже бывает случайной» речь идет о геометрическом определении вероятности.
В последнем пункте «сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?» рассматривается вопрос статистического оценивания и прогнозирования.
Я считаю, что в данном пособии удачным является введение понятия вероятности. Последовательность изложения вопросов по данной линии вполне логична.
Последний пункт имеет практическое значение, так как показывает практическую пользу из подсчета вероятности. Содержит ряд интересных задач, непосредственно связанных с реальной жизнью.
§2 О подготовке учителей к обучению школьников стохастике.
Анализ учебно-методической литературы по теме исследования показывает, что введение вероятностно-статистического материала в базовый школьный курс математики породило немало проблем. К его появлению в школьном курсе оказались не готовы буквально все – от учителей до авторов школьных учебников.
Обладая одной из наиболее известных и признанных во всем мире академических школ теории вероятностей, мы до сих пор не имеем ни общей концепции преподавания этого раздела математики в школе, ни достаточного количества учебных пособий для школьников, содержащих соответствующий материал.
Остро встают проблемы методической готовности учителей к успешной реализации этой линии. Школьников нельзя ориентировать на вузовские варианты построения курса теории вероятностей. Вузовский материал должен быть переосмыслен и перенесен в школу. Учитель обязан владеть специфической методикой, направленной на развитие особого типа мышления и формирование особых, недетерминированных представлений у учащихся.
Курс теории вероятностей и математической статистики традиционно присутствовал в программах всех математических факультетов университетов и педагогических вузов, входил в обязательном порядке в подготовку инженеров, экономистов и т.д.
Если в высшей школе основной акцент делается на изучение математического аппарата для исследования вероятностных моделей, то в школе учащихся, прежде всего, необходимо ознакомить с процессом построения модели, учить их анализировать, проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям, развивать вероятностную интуицию. [11]
Вопрос о подготовке учителей рассмотрен в статье Селютина В.Д. [30]
Одно из главных отличий школьного изучения стохастики состоит в тесной связи отвлеченных понятий и структур с окружающим миром. Поэтому математическая деятельность школьников не должна ограничиваться изучением только готовых вероятностных моделей. Напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются как ведущие формы ученической деятельности. Учитель призван правильно направлять такую деятельность, а для этого он сам должен владеть методами формализации и интерпретации. Выполнение учащимися заданий, связанных с принятием решений в реальных (в нематематических) ситуациях, играет здесь очень важную роль и требует умелого управления со стороны учителя.
Преподаватель должен владеть особой методологией с использованием специфических стохастических умозаключений. Владение искусством стохастических рассуждений – непременное условие успешной деятельности учителя математики. Нужен взгляд на стохастику не только как на систему понятий, фактов и утверждений, а как на специфическую методологию, охватывающую вероятностные и статистические умозаключения в их взаимосвязи. Анализ тех ситуаций, где для решаемой проблемы не оказывается однозначного или определенного ответа, не должен вызывать растерянности учителя. Нужно быть гибко мыслящим человеком, лишенным догматической веры в абсолютную истинность чужих выводов.
Особенность стохастических умозаключений проявляются, прежде всего, в ходе интерпретаций результатов решения математической задачи, возникшей на базе статистической информации. По этой причине во многих случаях одну и ту же статистическую информацию разные люди могут трактовать по-разному. Примером может служить следующая ситуация:
Владелец одного частного предприятия уволил большую часть рабочих, а оставшимся снизил зарплату на 20% (табл. №1). После этого он заявил, что средний заработок рабочих на его предприятии повысился. Так ли это?
Таблица №1.
| Заработок до увольнения | Заработок после увольнения | |||
| 1000 р. | 400 р. | 800 р. | 320 р. | |
| Число рабочих | 200 | 800 | 200 | 120 |
Если вычислить средние характеристики: моду, медиану и среднее арифметическое, то получим, что их значения после увольнения части рабочих будут больше, чем до увольнения. Но в данном случае, если внимательно посмотреть на таблицу, то можно заметить, что жизнь рабочих не улучшилась, а только ухудшилась, не говоря уже о тех, кто вообще потерял работу. Видимость повышения зарплаты создается из-за увольнения значительной части низкооплачиваемых рабочих. Здесь итоги решения математической задачи противоречат здравому смыслу. Математическая модель, как видно из данного примера, не всегда адекватна практической ситуации.
Выступая в качестве дирижера и помощника учащихся, учитель призван прививать им критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям, умение правильно истолковать статистическую информацию, самостоятельно разоблачать различного рода фальсификации, кажущиеся на первый взгляд «правдоподобной» информацией.
Учитель должен глубоко понимать причины появления опасности принятия неправильных решений в ходе анализа явлений, происходящих под воздействием случая. Обманчивое впечатление, например, может возникать из-за неполноты статистической информации. Например, рассматривая сведения о числе женщин, занятых в промышленности и в системе образования, можно прийти к выводу, что женский труд преобладает в промышленности:
| Где работают | В промышленности | В образовании |
| Число женщин | 129 483 | 41 769 |
Однако мнение меняется, после того, как дополнительно становится известным, что в образовании работает 57 218 человек, а в промышленности – 264 251 человек. В результате получается, что число женщин составляет примерно 73% от всех работников образования, и только примерно 49% от всех работников занятых в промышленности.
К неправильным или противоречивым выводам может привести также неадекватный выбор критериев, по которым интерпретируются статистические данные. Здесь примером может служить следующая ситуация: каждая из двух фирм по изготовлению обуви послала в некоторую африканскую страну своего агента для выяснения возможности продажи своей продукции. Агент первой фирмы телеграфировал: «прекрасный рынок для обуви – здесь 90% жителей не носят ботинок». Агент второй фирмы сообщил: «Для обуви здесь нет рынка – 90% жителей не носят ботинок».
Специфика стохастической линии требует от учителя умений так организовать математическую деятельность школьников, чтобы изучение понятий и методов происходило в форме открытия новых инструментов познания окружающего мира. При обучении стохастике создается благоприятная почва для эвристической деятельности учащихся. У педагогов появляется возможность использования новых, непривычных для уроков математики, подходов к обучению. Учитель, определяя уровень усвоения учениками тех или иных стохастических умений, может столкнуться со следующей трудностью: при решении задач учащемуся чаще приходится опираться на свой здравый смысл, а не действовать строго по алгоритму, поэтому ответы разных учащихся на один и тот же вопрос могут звучать по-разному. В данном случае задачей учителя является оценка «права на ошибку» учащегося, поскольку сама такая оценка носит вероятностный характер.