Особенности формирования понятия площади у младших школьников (стр. 4 из 10)

Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами

и , то площадь этого прямоугольника вычисляется по формуле .

Случай, когда длины сторон прямоугольника выражаются положительными действительными числами, мы опускаем.

Из этой теоремы вытекает следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство. Пусть

- параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис.3). Опустим перпендикуляр из вершины на прямую . Тогда .

Опустим перпендикуляр

из вершины на прямую . Тогда

Так как треугольники

и равны, то равны и их площади. Отсюда следует, что , т.е. площадь параллелограмма равна площади прямоугольника и равна , а так как , то .

Из это теоремы вытекает следствие: площадь треугольника равна половине произведения его стороны на проведенную к ней высоту.

Заметим, что слова «сторона» и «высота» в данных утверждениях обозначают численные значения длин соответствующих отрезков.

Теорема. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Если периметр правильного многоугольника обозначить буквой

, радиус вписанной окружности - , а площадь правильного многоугольника - , то, согласно данной теореме,

Доказательство. Разобьем правильный

-угольник на треугольников, соединяя отрезками вершины -угольника с центром вписанной окружности.

Эти треугольники равны. Площадь каждого из них равна

где

- сторона правильного -угольника . Тогда площадь многоугольника равна

но

. Следовательно,

Если

-произвольный многоугольник, то его площадь находят, разбивая многоугольник на треугольники (или другие фигуры, для которых известны правила вычисления площади). В связи с этим возникает вопрос: если один и тот же многоугольник по-разному разбить на части и найти их площади, то будут ли полученные суммы площадей частей многоугольника одинаковыми? Доказано, что условиями, сформулированными в определении площади, площадь всякого многоугольника определена однозначно.

Кроме равенства и равновеликости фигур в геометрии рассматривают отношение равносоставленности. С ним связаны важные свойства фигур.

Многоугольники

и называются равносоставленными, если их можно разбить на соответственно равные части.

Например, равносоставлены параллелограмм

и прямоугольник (рис.3), так как параллелограмм состоит из фигур и , а прямоугольник – из фигур и , причем .

Нетрудно убедиться в том, что равносоставленные фигуры равновелики.

Венгерским математиком Ф.Бойяи и немецким любителем математики П.Гервином была доказана теорема: любые два многоугольника равносоставлены. Другими словами, если два многоугольника имеют равные площади, то их всегда можно представить состоящими из попарно равных частей.

Рис. 4

Теорема Бойяни - Гервина служит теоретической базой для решения задач на перекраивание фигур: одну разрезать на части и сложить из нее другую. Оказывается, что если данные фигуры многоугольные и имеют одинаковые площади, то задача непременно разрешима.

Доказательство теоремы Бойяи-Гервина достаточно сложное. Мы докажем только утверждение о том, что всякий треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником, т.е. всякий треугольник можно перекроить в равновеликий ему прямоугольник.

Пусть дан треугольник

(рис.4). Проведем в нем высоту и среднюю линию . Построим прямоугольник, одной стороной которого является , а другая лежит на прямой . Так как пары треугольников и , а также и равны, то треугольник и прямоугольник равносоставлены.

Мы выяснили, что вычисление площади многоугольника сводится по существу к вычислению площадей треугольников, на которые можно разбить этот многоугольник. А как находить площадь произвольной плоской фигуры? И что представляет собой число, выражающее эту площадь?