Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы (стр. 4 из 7)
Далее воспользовавшись координатной формулой расстояния между двумя точками, найдем длину BD.
(умение вычислять расстояние между точками, заданными координатами)
Она равна
.Итак, компонентами умения применять координатный метод в конкретных ситуациях являются следующие умения:
1. переводить геометрический язык на аналитический для одного типа задач и с аналитического на геометрический для другого;
2. стоить точку по заданным координатам;
3. находить координаты заданных точек;
4. вычислять расстояние между точками, заданными координатами;
5. оптимально выбирать систему координат;
6. составлять уравнения заданных фигур;
7. видеть за уравнением конкретный геометрический образ;
8. выполнять преобразование алгебраических соотношений.
Данные умения можно отработать на примере следующих задач, формирующих координатный метод:
1) задачи на построение точки по ее координатам;
2) задачи на нахождение координат заданных точек;
3) задачи на вычисление расстояния между точками, заданными координатами;
4) задачи на оптимальный выбор системы координат;
5) задачи на составление уравнения фигуры по ее характеристическому свойству;
6) задачи на определение фигуры по ее уравнению;
7) задачи на преобразование алгебраических равенств;
Приведем примеры таких задач.
I. Построение точек на плоскости.
С координатной прямой, а затем и с координатной плоскостью учащиеся знакомятся в 5-6 классах при изучении математического материала. При этом удобно использовать мультимедийные презентации, которые позволяют в динамике излагать необходимый материал, использовать всевозможные иллюстрации и звуковые эффекты, тем самым, заинтересовывая учащихся и являясь хорошим наглядным средством. Одним из примеров является презентация «Метод координат», опирающаяся на учебник [7]. (см. приложение 1). Приведем несколько примеров задач, которые можно использовать при изучении координатной плоскости. Эти задачи могут быть использованы:
- для оттачивания навыков построения точек по их координатам со всем классом;
- для дополнительных заданий отстающим ученикам;
- для развития интереса к изучаемой теме.
1) На координатной плоскости постройте точки А(7,2), B(-2,1), C(0,2).
2) Отметьте на плоскости несколько точек. Начертите произвольную систему координат и найдите в ней координаты заданных точек.
3)
Постройте фигуры по координатам их узловых точек. Указание: узловыми будем называть точки, служащие концами отрезков, образующих фигуры. Точки, координаты которых записаны подряд через запятую, соединяйте последовательно друг с другом. Если же координаты разделяются знаком «;», то соответствующие точки не следует соединять. Они нужны для изображения вспомогательных элементов.А) Камбала (Рис. 4)
(3,7), (1,5), (2,4), (4,3),
(5,2), (6,2), (8,4), (8,-1),
(6,0), (0,-3),(2,-6),(-2,-3),
(-4,-2),(-5,-1),(-6,1),(-4,1);
(-6,1), (-6,2), (-3,5), (3,7);
(-4,-2),(-2,0),(-2,2),(-3,5);(-3,3).
Б)Найдите координаты выделенных на рисунке точек, двигаясь по часовой стрелке от самой жирной точки. (Рис. 5 и 6)
II.Задачи на выбор системы координат
Выбор системы координат имеет очень важное значение при применении метода координат.
Для примера возьмем задачу, которая рассмотрена в учебнике [2] «Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин».
Первым шагом при применении метода координат является такой выбор осей и системы координат, при котором алгебраические выкладки становятся более простыми. Для данной задачи удачный выбор системы координат показан на рисунке 7. Таким образом, начало координат помещаем в точку А, а оси проводим через точки В и С так, чтобы эти точки лежали на положительных лучах осей. Следовательно, В(а,0) и С(0,b). Поэтому по формуле середины отрезкаD(
). Теперь 
, 
.Поэтому AD=BD. А так как по определению середины отрезка BC=CD, то теорема доказана.
Можно выбрать систему координат и по-другому (рис.8, рис.9). Если выбрать оси совсем случайно, то легкую задачу можно превратить в очень трудную. Чтобы начать доказательство исходя из рисунка 10, нужно найти способ, позволяющий выразить алгебраически, что треугольник ABC имеет при вершине А прямой угол. Сделать это можно, но будет это не очень просто.
 |
Поэтому необходимо вырабатывать у учащихся, начиная с 6 класса, представления о возможности произвольного выбора системы координат. Эту работу целесообразно вести в процессе решения задач. В целях пропедевтической работы можно рекомендовать в 6 классе задачи из учебника на нахождение координат точек по рисунку, разнообразя их с помощью изменения направления осей и начала координат. (см. приложение1)
1. Длина отрезка АВ равна 5см. а)Выберитесистему координат, в которой можно было бынаиболее просто определить координаты концовотрезка. б)Выберите систему координат так,чтобы координаты концов отрезка были бы: А (-2.5,0), В(2.5,0).
2. Постройте квадрат ABCD со стороной 2 см; отметьте точку М- центр квадрата. Поместите начало координат последовательно в точки A, B, C, D и выберите направление осей координат так, чтобы точка М в каждой системе координат имела координаты (1;1). За единичный примите отрезок длиной 1 см.
3. Треугольник ABC равносторонний (длина стороныравна 6 см.). Выберите систему координат так,чтобы можно проще было бы определить координаты его вершин.
III. Расстояние между точками
1) Точка М(а,с) находится от начала координат и точкиА(4,0) соответственно на расстояниях 3 и 4 см.Определите координаты точки М.
2) Дан прямоугольник ABCD (АВ=2 см., ВС=4 см.). Каквыбрать систему координат, чтобы его вершины имеликоординаты А(-1,-2), В(-1,2), С(1,2), D(l,-2)?
3) Длины сторон треугольника ABC равны 3, 4 и 5 см. Выберете систему координат и определите в нейкоординаты вершин треугольника ABC.
4) Вершины четырехугольника ABCD имеют следующиекоординаты: А(-3,1), В(3,6), С(2,2) и D(-4,3).Установите вид четырехугольника.
IV. Составление уравнения фигур
Это умение является одним из основных умений, которые необходимы при применении метода координат к решению задач.
1) Изобразите систему координат. Отметьте на оси Охточки А и В. Запишите соотношения, которымудовлетворяют координаты точек, принадлежащих:а)отрезку АВ; б)лучу АВ; в)лучу ВА;
2) Запишите уравнение прямой, содержащей началокоординат и точку А(2,5).
3) Запишите уравнение прямой, содержащей точки А(2,7)и В(1,3).
4) Изобразите на координатной плоскости произвольнуюпрямую и найдите ее уравнение.
5) Запишите соотношения, которым удовлетворяю координаты точек прямоугольника с вершинами А(2,3),В(2,5), С(4,5), D(4,3).
6) Что представляют собой множества точек плоскости,координаты которых удовлетворяют неравенствам: а)х≤3; b)-5≤х≤0; c)x>1; d)x<-2; e)
≥2; f) ≥0?7) Какую фигуру образует множество точек, координатыкоторых удовлетворяют системе неравенств 2≤x≤5 и 1≤y≤3?
8) Постройте точки, симметричные точкам А(2,-3) , В(5,0), С (0,7) относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в)биссектрисы I и III координатных углов. Запишите эти координаты.
9) Установите, относительно какой из координатныхосей симметричны точки А(1,2),В (-7,2).
10) Точки А(5,…), В(…,2) симметричны относительно осиОх. Запишите пропущенные координаты.
11) Постройте образы точек А(1,5), В(-2,3), С(3,0) при параллельном переносе а)О(0,0)→К(3,0); 6)0(0,0)→М(2,3). Запишите их координаты.
12) С помощью какого параллельного переноса можноотобразить точку М(-3,4) в точку M1(2,4)?
13) Найдите на прямых у=-Зх+1 и у=2х+3 точки, симметричные относительно оси Ох.
14) Запишите уравнение прямой, на которую отображается прямая у=4х-3 вектором с координатами (3,4).
15) На прямых у=Зх+2 и у=-5х+5 найдите такие точки, которые находятся одна от другой на расстоянии 5 см, и принадлежат прямой, параллельной оси Ох.
2.3 Виды задач, решаемых методомкоординат
Применяя метод координат, можно решать задачи двухвидов.
1. Пользуясь координатами можно истолковать уравнения и неравенства геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение функции первый пример такого применения метода координат.
2. Задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах геометрические соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Например, можно выразить через координаты основную геометрическую величину - расстояние между точками.
В связи с усилением роли координатного метода в изучении геометрии особенно актуальной становиться проблема его формирования. Наиболее распространенными среди планиметрических задач, решаемых координатным методом, являются задачи следующих 2 видов: 1) на обоснование зависимостей между элементами фигур, особенно между длинами этих элементов; 2) на нахождение множества точек, удовлетворяющих определенным свойствам.
Примером задач первого вида может служить следующая: