Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы (стр. 5 из 7)

«В треугольнике ABC, AB=c, AC=b, BC=a, BD - медиана.

Доказать, что

»

Задача: «Найти множество точек, для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная» - является примером задач второго вида.

Решения этих задач были разобраны выше.

Несмотря на недостатки метода координат такие как наличие большого количества дополнительных формул, требующих запоминания, и отсутствие предпосылок развития творческих способностей учащихся, некоторые виды задач трудно решить без применения данного метода. Поэтому изучение метода координат необходимо, однако более детальное знакомство с этим методом целесообразно проводить на факультативных занятиях. Далее приведем ряд задач для факультативов.

Пример 1. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки, взятой на диаметре окружности, до концов любой из параллельных ему хорд постоянна.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре окружности. Пусть хорда МР параллельна оси Ох, а точка А принадлежит диаметру (рис. 11). Обозначим расстояние ОА через а, а расстояние от точки Р до оси Ох через b. Тогда точка А имеет координаты (а, 0). Точки Р и М принадлежат окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1, следовательно их координаты удовлетворяют уравнению данной окружности

. Используя это уравнение находим координаты точек Р( ) и М( ). Необходимо доказать, что АМ²+АР² не зависит от переменной b. Найдем АМ² и АР² используя формулу нахождения расстояния между двумя точками по их координатам: . Они соответственно равны и , а их сумма после приведения подобных равна 2а²+2. Это число не зависит от переменной b, что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей. (Теорема Эйлера)

Решение: Введем прямоугольную систему координат как показано на рисунке 12.

Пусть точки А, В, С и D имеют координаты (0,0), (d,0), (c,d) и (0,d) соответственно. Следовательно, координаты точек L и P есть ( ) и ( ). Найдем квадраты длин отрезков, с помощью формулы нахождения расстояния между точками по их координатам.

AD²=

; BC²=

; DC²=

; AB²=

;

AC²=

; BD²= ; LP²= .

Запишем выражение, которое необходимо доказать, используя найденные нами значения.

AD²+BC²+DC²+AB²=AC²+BD²+4LP²

+ + + = + +4

Раскроем скобки, приведем подобные и получим верное равенство 0=0. Значит, сумма квадратов длин сторон четырехугольника равна сумме квадратов длин его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей.

Пример 3. Диаметры ABи CD окружности перпендикулярны. Хорда ЕА пересекает диаметр СD в точке К, хорда ЕС пересекает диаметр АВ в точке L. Докажите, что если СК:KD так же как 2:1, то AL:LB так же как 3:1.

Решение: Введем прямоугольную систему координат, направив оси по данным диаметрам ABи CD(рис. 13).

Радиус окружности будем считать равным 1. Тогда точки А, В, С, D будут иметь координаты (-1,0), (1,0), (0,-1), (0,1) соответственно. Так как СК:KD=2:1, то точка К имеет координаты (0,

). Найдем координаты точки Е как точки пересечения прямой АК, имеющей уравнение и окружности, заданной уравнением . Получаем, что точка Е имеет координаты ( ). Точка L – это точка пересечения прямых СЕ и оси абсцисс, значит ординаты точки L равна 0.

Найдем абсциссу точки L. Прямая СЕ задана уравнением

. Она пересекает ось Ох в точке ( ,0). Отсюда координаты точки L( ,0). Найдем отношение AL:LB. Оно равно трем, что и требовалось доказать.

Задачи

1. Доказать, что если в треугольнике две медианыконгруэнтны, то треугольник равнобедренный.

2. Найти множество таких точек Р, что отношениерасстояний от каждой из них до двух данных точекравно а.

3. Докажите, что уравнение окружности с центром в точкеС (а,с) и радиусом r имеет вид: (х-а)²+(у-с)²=r²

4. Найти угол между прямыми Зх-4у+6=0 и 12х+5у+8=0

5. Определите расстояние от точки А(-3,4) до прямой у=х+2.

6. Вычислите площадь треугольника, вершины которого имеют следующие координаты: А (0,-2), В(6,2) и С(2,4) .

7. На прямой с даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между точками А и С. В одной полуплоскости с границей а построены равносторонние треугольники АМВ и ВРС. Доказать, что середина отрезка РА, середина отрезка МС и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.

8. Доказать, что для любой точки Р лежащей междувершинами В и треугольника ABC, справедливоравенство :

АВ²*РС+АС*ВР-АР²*ВС=ВС*ВР*РС.

9. Дан прямоугольник. Докажите, что сумма квадратоврасстояний от произвольной точки, принадлежащейплоскости этого прямоугольника до его вершин, в двараза больше суммы квадратов расстояний от этой точкидо сторон прямоугольника.

10.Доказать, что если через некоторую точку М провестипрямую, пересекающую окружность в точках А и В, топроизведение МА*МВ постоянно и не зависит отположения прямой.

11.Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, длякоторых MA²+MC²=MB²+MD². (ответ: множество точек Месть плоскость)

12.Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек М, длякоторых MA+MC=MB+MD. (Ответ: пара прямых)

13.Дан прямоугольный треугольник ABC (ÐC=90°) . Найти множество точек Р, для которых 2РС²=РА²+РВ². (ответ: множество точек Р есть прямая, содержащая середину М гипотенузы АВ и перпендикулярная к медиане СМ).

2. 4 Опытное преподавание

Опытное преподавание проводилось в 9 классе средней общеобразовательной школы №51. Перед его проведением была изучена математическая и методическая литература и разработана методика проведения факультатива. Было проведено 2 занятия. В данном классе изучение геометрии ведется по учебнику [2], поэтому в качестве основного теоретического и практического источника я выбрала данный методический комплект.

I. Занятия проводились по теме «Простейшие задачи в координатах», до ознакомления с которыми учащиеся изучали тему «Векторы», познакомились с понятием «координаты вектора», а также узнали формулу середины отрезка.

1 занятие: «Простейшие задачи в координатах»

Образовательная цель урока – рассмотреть задачи о вычислении длины вектора по его координатам и по координатам его начала и конца; показать, как они используются при решении других задач.

Содержание урока:

-Вначале урока был проведен устный счет для проверки усвоения материала, разобранного на прошлом уроке, а также для проведения пропедевтической работы по повторению тех понятий и фактов, которые будут использованы при объяснении нового материала.

Устный счет:

1. Координаты точек А(-2, 3) и В(2, -4). Найдите координаты векторов

и .

2. Координаты точек М(5,-8) и Р(-3, 4). Найдите координаты точки О (О – середина отрезка МР).

3. СР – диагональ окружности; С(-2, -1), Р(5, 7). Найдите координаты центра окружности – точки Е.

4. ABCD– прямоугольник, АD=7, АВ=5. Найдите АС.