Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы (стр. 6 из 7)
-Новый материал:
1) Вычисление длины вектора по его координатам.
Вывод формулы опирается на теорему Пифагора и на то, что расстояние между двумя точками оси координат находится по формулам 
(для точек 
; 
оси х) и 
(для точек 
; 
оси у). Покажем, что длина вектора 
равна 
. Данная формула доказывается только для случая, когда х≠0 и у≠0, в достоверности других случаев учащимся предоставляется убедиться самостоятельно. Для доказательства задаем координатную плоскость и рассматриваем вектор 
с началом в начале координат (по теореме: от любой точки можно отложить вектор, равный данному и притом единственный). Используя формулу для нахождения координат вектора по координатам его начала и конца, можем найти координаты точки А. Далее с помощью теоремы Пифагора находим длину отрезка ОА= 
. следовательно, их длины раны, т.о. .Далее показывается применение данной формулы.
2) Расстояние между двумя точками.
Нахождение данной формулы опирается на использование предыдущей. Пусть имеются точки М1(х1,у1)и М2(х2,у2), необходимо найти расстояние между этими точками. Рассмотрим вектор М1М2. Его координаты равны
. Находим длину вектора по его координатам: 
, а расстояние между М1 и М2 это длина вектора 
. После выведения данной формулы можно записать формулу 
и показать, что они эквивалентны.- Закрепление: для закрепления используется ряд задач на применение данных формул.
1. Найдите длины векторов: а)
; b) 
[2: № 938]2. Найдите медиану АМ треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А(0,1), В(1, -4), С(5,2). [2: № 942]
3. Вершина А параллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Ох, вершина В имеет координаты (b, c), а ОА=а. Найдите а)координаты вершины С; b)сторону АС и диагональ СО. [2: № 944].
- Домашнее задание № 939, 941 [2]
2 занятие: «Простейшие задачи в координатах». (урок – закрепление)
Общеобразовательная цель урока: показать, как «простейшие задачи» используются при решении более сложных и проверить усвоение знаний, полученных на прошлом уроке.
Содержание урока:
- В начале урока был проведен устный счет для проверки усвоения материала, разобранного на прошлом уроке.
Устный счет: записать координаты
●Середины отрезка ●
Координаты вектора  |
· Длины вектора
· Расстояние между точками М и N.
- Решение задач.
1. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если А(0,1), В(1,-4), С(5,2).
2. Докажите, что четырехугольник MNPQявляется параллелограммом, и найдите его диагонали, если N(6,1), P(7,4), Q(2,4), М(1,1). [2: № 950(а)]
-Самостоятельная работа.
| I. Вариант |
1. Найдите координаты и длину вектора  , если  ,  ,  . |
| 2. Даны координаты вершин треугольника АВС А(-6,1), В(2,4), С(2,-2). Докажите, что треугольник АВС равнобедренный и найдите высоту проведенную из вершины А. |
| Дополнительно для обоих вариантов: Даны координаты вершин треугольника АВС А(-4,3), В(2,7), С(8,-2). Доказать, что треугольник прямоугольный. |
| II. Вариант |
1. Найдите координаты и длину вектора  , если  ,  ,  . |
| 2. Дано А(-6,1), В(0,5), С(-6,4), Р(0,-8). Докажите, что АВСР прямоугольник и найдите координату точки пересечения его диагоналей. |
-Домашнее задание №945, 948(а)
II. Факультатив.
Для проведения факультатива предлагается ряд более сложных нестандартных задач, при решении которых используется метод координат.
Задача 1. Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк,обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 р. на 1 км, а для предприятия В 20 р. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть расположен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными.
Решение:
Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Систему координат выберем так, чтобы ось Ох проходила через пункты А и В, а ось Оу через точку А. Пусть Р произвольная точка, s1 и s2 расстояния от точки до предприятий А и В (рис.17). Тогда А(0, 0), В(300, 0), Р(х, у).При доставке груза из пункта А расходы равны m+10s1. При доставке груза из пункта В расходы равны m+20s2. Если для пункта Р выгоднее доставлять груз с предприятия А, то m+10s1< m+20s2,откуда s1<2s2, в обратном случае получим s1>2s2.
Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению
s1=2s2 (1)
Выразим s1 и 2s2 через координаты:
, 
.Имея в виду (1), получим
.Это и есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.
Задача 2. На плоскости даны точки А и В; найти геометрическое место точек М, удаленных от А в двое больше, чем от В.
Решение:
Выберем систему координат на плоскости так, чтобы начало координат попало в точку А, а положительная полуось абсцисс пошла по АВ. За единицу масштаба возьмем отрезок АВ. Точка А будет иметь координаты (0,0), точка В координаты (1,0). Координаты точки М обозначим через (х,у). Условие 
записывается в координатах так: 
.Мы получили уравнение искомого геометрического места точек. Чтобы понять, какое множество описывается этим уравнением, мы преобразуем его так, чтобы оно приняло знакомый нам вид. Возведя обе засти в квадрат, раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем равенство:Зх2-8х+4+Зу2=0.
Это равенство можно переписать так:
или так:
. Это уравнение окружности с центром в точке ( 
,0) и радиусом, равным 
. Это значит, что наше геометрическое место точек является окружностью.