Развитие функциональной линии в курсе алгебры 7-9 классов на примере учебников по алгебре под ред (стр. 2 из 16)

В учебниках [2], [5], [8] функция начинает изучаться в 7 классе. Здесь рассматриваются линейное уравнение с двумя переменными и его график, линейная функция, прямая пропорциональность и функция

, их графики. Учащиеся учатся находить наибольшее и наименьшее значения этих функций на заданном промежутке. Вводится понятие о непрерывных и разрывных функциях, разъясняется запись , а также вводится функциональная символика. В 8 классе рассматриваются следующие функции: , , , и их графики. В 9 классе вводятся определение функции, способы задания функции, область значения, область определения функции, свойства функций: монотонность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке, чётность и нечётность. Даны наглядно-геометрические представления о непрерывности и выпуклости функции. Произведён обзор свойств и графиков известных функций: , , , , , , . А так же рассмотрены функции и , их свойства и графики, построение графика функции по известному графику функции . Кроме того, в 9 классе введены элементы теории тригонометрических функций и , их свойства и графики.

В учебниках [1], [4], [7] изучение функциональной линии начинается в 7 классе. Здесь вводится понятие функции, таблица значений и график функции, пропорциональные переменные. Учащиеся знакомятся с прямой пропорциональностью, с линейной функцией, с функцией

их свойствами и графиком, а также с графиком линейного уравнения с двумя переменными. В 8 классе изучается функция , в 9 классе рассматривается квадратичная функция и функция (особое внимание уделяется случаю n = 3).

В учебниках [3], [6], [9] изучение функциональной линии начинается в 8 классе. Вводятся понятия функции, её графика, рассматриваются функции

, , , прямая пропорциональность, линейная функция, квадратичная функция, их свойства и графики. В 9 классе изучается степенная функция . Кроме того, здесь могут быть рассмотрены функции , , , и . Но этот материал не является обязательным для изучения. На этом изучение функциональной линии (в основной школе) в данном комплекте заканчивается.

Итак, можно сделать вывод, что в учебниках [2], [5], [8] функциональная линия является ведущей (здесь рассмотрены понятия и функции, которым не придаётся значения в других учебниках, например, непрерывность и выпуклость, функции

, , ). В других учебниках (выше рассмотренных) внимание уделяется другим содержательно-методическим линиям, а значение функциональной линии в этих учебниках умеренное. В рассмотренных учебниках содержание и место изучения данной содержательной линии отличается не существенно.

В различных учебниках используются различные способы исследования функции.

В учебниках [10], [12], [14] применяется комбинированный метод в 7 и 8 классе, а в 9 классе – аналитический. В учебниках [11], [13], [15], [1], [4], [7] используется комбинированный метод, в учебниках [2], [5], [8] – графический метод.

1.2. Анализ школьной программы.

Функциональная линия – это одна из ведущих линий в школьной математике, знакомство с ней начинается в 5 классе, а заканчивается в 11 классе. В основной школе происходит изучение таких понятий, как функция, область определения функции, способы задания функции, график функции, возрастание и убывание функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значение функции, чётная и нечётная функции.

Изучаются линейная функция у = кх + b, степенные функции вида у = х², у = х³, квадратичная функция у = ах²+ bх + с, обратная пропорциональность

, функция, содержащая знак модуля

, а также функции

и , где n – натуральное число.

Кроме того, рассматриваются простейшие преобразования графиков функций.

После изучения функциональной линии в основной школе учащиеся должны:

- понимать, что функция – это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций описывают большое разнообразие реальных зависимостей;

- правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определения, возрастание и др.) и символику; понимать её при чтении текста, в речи учителя, в формулировке задач;

- находить значение функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу;

- находить по графику функции промежутки возрастания и убывания функции, промежутки знакопостоянства, находить наибольшее и наименьшее значения;

- строить графики функций – линейной, прямой и обратной пропорциональностей, квадратичной функции;

- интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

1.3. Подходы к изучению понятия «функция».

Выделяют два подхода к введению определения понятия функции:

1. Генетический подход.

2. Логический подход.

Генетическая трактовка понятия функции основана на разработке и методическом освоении основных черт, вошедших в понятие функции примерно до середины XIX века. Наиболее существенными понятиями, которые при этой трактовке входят в систему функциональных представлений, служат переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), правило, декартова система координат.

Генетическое развёртывание функции обладает рядом достоинств. В нём подчёркивается «динамический» характер понятия функциональной зависимости, легко выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы. Такая трактовка естественно увязывается с остальным содержанием курса алгебры, поскольку большинство функций, используемых в нём, выражается аналитически или таблично.

Генетическая трактовка понятия функции содержит также черты, которые следует рассматривать как ограничительные. Одним из очень существенных ограничений является то, что переменная при таком подходе всегда неявно (или даже явно) предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому в значительной степени понятие связывается только с числовыми функциями одного числового аргумента (определёнными на числовых промежутках), то есть происходит сужение объёма понятия функции.