Изучение функций и их графиков на элективном курсе по алгебре в 9 классе (стр. 14 из 16)

График функции

состоит из отрезков прямых, параллельных оси абсцисс, образующих «лесенку», длина и высота каждой «ступеньки» которой равна 1 [10].

3) Функция

Дробную часть числа можно определить через его целую часть:

. Поскольку целая часть
не превосходит
, то дробная часть числа всегда неотрицательна. Дробная часть целого числа равна 0.

Примеры: {

-3; {-7}=0; {5}=0; {3

; {-27,52}=-27,52-(-28)=0,48.

Исходя из определения, устанавливаются свойства функции

1. область определения

;

2. множество значений

;

3. функция ограничена

;

4. для любого действительного числа

и любого натурального

выполняется равенство

. Таким образом, исследуемая функция является периодической, ее период – любое натуральное число, наименьший период 1;

5. на каждом промежутке

функция
возрастает, хотя на всей области определения возрастающей не является, она немонотонная.

Вследствие периодичности функции ее график достаточно построить на промежутке

, на остальных промежутках области определения график строится, используя периодичность функции (рис. 25).

График функции

изобразится изолированными отрезками прямых на каждом промежутке

, области определения. Эти отрезки геометрически представляют диагонали квадрата со стороной, длина которой равна 1 (длина каждого из отрезков

). Левая крайняя точка диагонали имеет координаты

, правая крайняя точка с координатами

графику функции не принадлежит. На каждом из указанных промежутков области определения графиком является отрезок прямой, параллельной прямой
. Следовательно, функция
, имеет «разрыв» в каждой точке с целочисленными абсциссами [10].

Закрепление полученных знаний

Пример 1.Построить график функции:

Чтобы понять, как будет выглядеть график функции

, надо взять несколько значений
из каждого промежутка и посмотреть, что будет происходить с функцией.

x	0	0,3	0,8	0,15
x – 1	-1	-0,7	-0,2	-0,85
y = [ x - 1]	-1	-1	-1	-1

Возьмем значения

из промежутка

Значение функции для

из промежутка

равно -1, т. е. график на этом промежутке будет представлять собой отрезок прямой

Далее, рассуждая аналогично, получим график(рис. 26).

Учащиеся в парах решают задания, записанные на доске. После выполнения задания разбираются на доске.

Построить графики функций. 1)

; 2)

; 3)

Приложения кусочно-линейных функций достаточно разнообразны. Некоторые классы текстовых задач решаются с помощью функций

и
.

Задачу с помощью учителя решает на доске ученик.

Пример 2.Длина полных метров в куске кабеля в 5 раз больше длины неполного метра. Какова максимально возможная длина кабеля? [10].

Решение. Обозначим длину кабеля

(м). Тогда составим уравнение
или

. Так как

, то

, поэтому

. Тогда
. Искомая длина кабеля 4,8 (м).

Ответ:4,8 м.

Подведение итогов занятия

- Какую тему мы изучили сегодня на занятии?

- Что нового вы узнали на занятии?

Методические рекомендации. Изучение функций «сигнум

», «антье от

», «дробная часть

» программой общеобразовательной школы не предусмотрено, эти функции изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Все они являются «кусочно-линейными», то есть заданными линейно (в виде различных линейных зависимостей) на различных промежутках области определения. Изучение кусочно-линейных функций должно следовать за функцией «модуль числа». Для изучения данных функций подходит аналитико-графический путь: от определения и свойств к их графическим иллюстрациям.

Тема 4. Построение графиков функций

Занятие № 12. График сложной функции

Цель: научить учащихся применять полученные знания для построения графиков сложной функции.

Ход занятия:

Актуализация изученного ранее материала

На данном этапе занятия учащиеся вспоминают материал по теме преобразование графиков, для этого подбирается соответствующая система заданий. Актуализация знаний проводится в коллективной форме.

Систематизация изученного материала

Пусть требуется построить график функции

. При этом предполагается, что построение графика функции

легко выполнимо или же ее график в данной системе координат построен. Искомый график получается с помощь геометрических преобразований из графика исходной функции

. Каждой паре функций, в зависимости от значений параметров

соответствует определенное геометрическое преобразование [16]. Представим это соответствие в таблице.

Изучение данной темы обеспечивается знанием предыдущих тем. При заполнении таблицы проводится фронтальный опрос учащихся.

Пара функций				Название преобразования
	a>0	0<a<1		Растяжение от оси ординат в раз
		a>1		Сжатие к оси ординат в a раз
	a<0	-1<a<0(0< <1)		Симметричное отражение от оси ординат и	Растяжение от оси ординат в раз
		a<-1( >1)			Сжатие к оси ординат в раз
	b>0			Перенос вдоль оси абсцисс	На b единицы вправо
	b<0				На единицы влево
	c>0		0<c<1	Сжатие к оси абсцисс в раз
			c>1	растяжение от оси абсцисс в с раз
	c<0		-1<c<0 (0< <1)	Симметричное отражение от оси абсцисс и	Сжатие к оси абсцисс в раз
			c<-1( )		Растяжение от оси абсцисс в раз
	d>0			Перенос вдоль оси ординат	На d единиц вверх
	d<0				На единиц вниз