Изучение функций и их графиков на элективном курсе по алгебре в 9 классе (стр. 6 из 16)

Пример 2. Тело падает с высоты 490 м под действием силы тяжести без начальной скорости. Высота

, на которой окажется тело через секунд без учета сопротивления воздуха, составит м, т. е. м. Здесь независимой переменной является время, которое может принимать все значения от 0 до 10 с (обозначено через ), а функцией является высота, которая может принимать все значения от 490 до 0 м, (обозначена через ). Отвлекаясь от конкретных единиц измерения, считаем, что задана функция ,где независимая переменная t принимает числовые значения из промежутка , функция принимает числовые значения из промежутка .

Часто независимую переменную обозначают через

, а зависимую через , при этом пишут , , ,и иногда , символизируя тем самым зависимость у от и тот факт, что каждому допустимому значению соответствует (в силу рассматриваемой зависимости) только одно значение . В условиях изучаемого явления (или математической задачи) обычно известно множество разрешенных значений для - область определения функции, а множество соответствующих значений -область значений.

В рассмотренных примерах можно обозначить время через

, а путь или высоту через , тогда получим в примере 1 функцию с областью определения и областью значений , в примере 2 функцию с областью определения и областью значений .

Итак, в примере 1 формулы

, , определяют одну и ту же функцию. В примере 2 формулы , и также определяют одну и ту же функцию. Аналогично можно задавать любые функции с одинаковыми областями определения. Например, и , и , и и прочие [5].

Таким образом, функция не зависит от обозначений переменных.

Учащиеся делают записи в тетрадях.

Сформулируем теперь более четкие определения.

Определение 1. Пусть М - некоторое множество чисел. Зависимость, связывающая с каждым значением одной переменной величины (аргумента) из заданного числового множества определенное числовое значение другой величины, называется функцией.

Часто функции обозначают буквами

и т.д., некоторые функции имеют собственные имена: sin, cos, tg, ctg, sgn.

Определение 2. Множество чисел, на котором задана функция, называют областью определения функции.

Будем обозначать область определения функции

через D( ). Другими словами, D( ) -это множество всех значений аргумента , для каждого из которых определено значение функции .

Определение З. Множество всех значений функции называется областью значений функции.

Область значений функции

обозначается через E( ). Другими словами, E( ) -это множество всех значений , когда

принимает всевозможные значения из области определения D( ).

Пусть задана функция

с областью определения D( ). Совокупность точек координатной плоскости с координатами ,где «пробегает» все множество D( ), называется графиком функции .

Например, точки с координатами

, , , принадлежат графику функции , поскольку , , , . Графиком функции служит прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. График функции есть полуокружность с центром в точке радиуса 1, расположенная в первом и втором координатных углах.

График функции наиболее доступно и наглядно отражает особенности изучаемой зависимости. Если график построен, можно по его виду сделать ряд важнейших выводов: где функция обращается в нуль, где она возрастает и где убывает, ограничена ли она или может принимать как угодно большие (по модулю) значения. На все подобные вопросы можно ответить, имея лишь приближенный график, точнее даже -эскиз графика. Поэтому построение эскизов графиков - важнейший навык, необходимый как в математике, так и в смежных разделах знаний. Без графиков сейчас не представляется даже информация о текущих экологических и социальных проблемах. График -это язык, средство для передачи емкой, качественной информации об интересующих нас явлениях в их взаимосвязи с сопровождающими (или побуждающими) обстоятельствами [11].

Подведение итогов занятия

- Какой элективный курс мы начали изучать?

- Какой теме было посвящено наше занятие?

Постановка домашнего задания

Подобрать 2 примера функциональных зависимостей из окружающей жизни.

Учитель сообщает тему следующего занятия «Способы задания функции» и раздает темы докладов для выступления учащихся (3 человека; каждый ученик создает презентацию по выбранной теме доклада. Презентация входит в состав портфолио и будет представлена на заключительном занятии). Предлагаемые темы докладов: