Роль самостоятельной работы учащихся при формировании у них навыков табличного умножения и соответствующих 2 (стр. 8 из 13)
Принятие гипотезы о нормальности распределения вариант дало возможность применить t-критерий Стьюдента для сравнения средних значений параметров (средние сравнивались также по тесту медианы) и F-критерий Фишера для сравнения дисперсий рассматриваемых групп. Все критерии показали, что различие параметров статистически значимо (уровень значимости 0,05, а в некоторых случаях 0,01 и даже меньше). Таким образом, эти группы нельзя рассматривать как выборки из одной и той же генеральной совокупности. Естественно предположить, что вторая группа состоит из учеников, подготовка которых оказалась недостаточной для успешного усвоения курса математики средней школы.
Результаты тестирования позволили дать приблизительную оценку предельных значений рассматриваемых параметров, необходимых для успешного усвоения математики – при заполнении тестовой таблицы, содержащей 64 элементарных операции, среднее время выполнения одной операции не должно превышать 10 секунд, а относительная частота появления ошибок не должна быть больше 0,03. С округлением в пользу ученика получается, что вся таблица должна быть заполнена менее чем за 11 минут и при этом может быть допущено не более двух ошибок.
Эти выводы не могли быть признаны окончательными, так как изученная выборка имеет небольшой объем и состоит из учащихся одного класса, то есть не является репрезентативной. Для их подтверждения в период с 1994 года по 2004 год я провел более широкое исследование.
На втором этапе экспериментальной работы были решены следующие задачи: 1) уточнены предельные значения параметров уровня развития навыков табличного счета для четвертых (выпускных) классов начальной школы; 2) определены предельные значения этих параметров для третьих классов начальной школы, а также для пятых, шестых и седьмых классов средней школы; 3) подтверждена прямая связь между уровнем развития навыков элементарного счета и успешностью изучения математики; 4) изучено влияние целенаправленной работы по развитию этих навыков на величину предельных параметров и на усвоение курса математики средней школы.
Экспериментальной работой были охвачены 567 учеников из 31 класса семи средних школ. Для определения уровня развития навыков табличного счета были использованы тестовые таблицы, содержащие 64 элементарные операции по сложению, вычитанию, умножению и делению. На практике оказалось удобнее для оценивания работ использовать общее время, затраченное на заполнение таблицы, и количество допущенных ошибок. Эти параметры позволяют сразу, без дополнительных вычислений, определить качество выполненной работы.
Статистический анализ результатов тестирования показал, что параметры выполнения отдельных арифметических действий существенно различны. Особенно сильно по ошибкам отличаются умножение и деление от вычитания, а по времени - сложение и вычитание от деления. Поэтому предельные значения параметров определены отдельно для каждого действия.
Для выделения из выборки группы учащихся, обладающих достаточно хорошо развитыми навыками, были использованы следующие рабочие гипотезы:
1) распределение вариант по времени в этой группе является нормальным;
2) распределение вариант по количеству ошибок (дискретные значения 0; 1; 2; 3; …) подчиняется закону Пуассона.
Принятые гипотезы определили методику поиска. Среди работ, содержащих не более двух ошибок, выделялось ядро, в котором распределение вариант по времени было нормальным или близким к нормальному, и определялась верхняя 90%-ая граница этого распределения. Затем к этому ядру добавлялись работы с 3 и 4 ошибками, время выполнения которых не превышало полученного значения.
Статистический анализ параметров каждой из полученных таким образом групп подтвердил их внутреннюю однородность: распределение вариант по времени оказывалось нормальным, а распределение по ошибкам подчинялось закону Пуассона (уровень значимости 0,05). В разных случаях эти группы составляли от 50% до 70% всей выборки и были достаточно хорошо изолированы от остальных вариант (согласно критериям отбрасывания крайних). В оставшейся части выборки в большинстве случаев удавалось выделить еще несколько однородных групп.
Для иллюстрации рассмотрим результаты заполнения таблицы на умножение в четвертых классах (6 классов, 122 ученика) в 1995/96 учебном году. Схематически эти группы показаны на диаграмме рассеивания по количеству ошибок (ось абсцисс) и времени заполнения таблицы (в секундах - ось ординат). При этом в первой группе 68 вариант, во второй - 12, в третьей - 17 (5 вариант оказались за пределами диаграммы).
Всего тестированием было охвачено 403 ученика четвертых классов. Через три года после тестирования (четвертая четверть седьмого класса) была изучена успеваемость этих учеников по математике. Выяснилось, что ученики из первой группы не имели значительных проблем при изучении математики; 87% учеников из второй и третьей групп испытывали значительные трудности, а ученики, не попавшие ни в одну из этих групп, не успевали по математике.
Таким образом, подтверждено, что недостаточный уровень развития элементарных вычислительных навыков в начальной школе является одной из причин неуспеваемости по математике. Это означает, что результаты тестирования этих навыков можно использовать для прогнозирования неуспеваемости по математике в средней школе.
Очевидно, что генеральная совокупность учащихся, в совершенстве овладевших навыками табличного счета, может быть представлена только учениками первой группы. Поэтому выборочные средние первых групп были приняты за основу для расчетов предельных значений параметров. Поскольку выборочные значения только приблизительно оценивают истинные значения, в качестве отправной точки (значение среднего для генеральной совокупности) использовалась верхняя 90%-ая граница интервала для истинного значения средних. При этом за предел для времени принимался 99-й процентиль полученного распределения, а за предел для количества ошибок - последнее из значений в распределении Пуассона, вероятность появления которых превышает 0,01. При таком способе определения предельных значений ошибка может произойти только в сторону их увеличения. Поэтому приведенные ниже расчетные требования к уровню развития навыков элементарного счета следует считать достаточно мягкими.
Предельные значения параметров рассчитаны для стандартных тестовых таблиц, каждая из которых содержит 64 однотипные элементарные операции. Под периодом подразумевается время (в годах), прошедшее после того, как была полностью изучена таблица умножения и соответствующие ей случаи деления. Время заполнения таблицы указано в минутах и секундах (6.27 – 6 минут 27 секунд). Во второй графе приведено допустимое количество ошибок.
Если ученик в начальной школе занимался по программе 1-4, то приведенные в таблице периоды соответствуют следующим классам: < 0,5 – второе полугодие 3 класса; 0,5-1 – первое полугодие 4 класса; 1-2 – второе полугодие 4 класса и первое полугодие 5 класса; 2-3 – второе полугодие 5 класса и первое полугодие 6 класса; 3-4 – второе полугодие 6 класса и первое полугодие 7 класса; > 4 – второе полугодие 7 класса и последующие классы.
Для программы 1-3 периоды примерно соответствуют следующим классам: < 0,5 – первое полугодие третьего класса; 0,5-1 – второе полугодие третьего класса; 1-2 – пятый класс; 2-3 – шестой класс; 3-4 – седьмой класс; > 4 – восьмой класс и старше.
1. СЛОЖЕНИЕ
| Период | <0,5 | 0,5-1 | 1-2 | 2-3 | 3-4 | > 4 | ||||||
| Отлично | 6.27 | 0 | 6.09 | 0 | 5.00 | 0 | 4.17 | 0 | 3.59 | 0 | 3.52 | 0 |
| Хорошо | 7.53 | 2 | 7.30 | 2 | 6.09 | 1 | 5.22 | 1 | 5.00 | 1 | 4.47 | 1 |
| Предел | 11.02 | 4 | 10.30 | 4 | 8.41 | 3 | 7.44 | 3 | 7.12 | 3 | 6.51 | 2 |
2. ВЫЧИТАНИЕ
| Период | < 0,5 | 0,5-1 | 1-2 | 2-3 | 3-4 | > 4 | ||||||
| Отлично | 6.32 | 0 | 6.09 | 0 | 5.03 | 0 | 4.25 | 0 | 4.07 | 0 | 3.59 | 0 |
| Хорошо | 8.07 | 2 | 7.40 | 2 | 6.16 | 2 | 5.34 | 1 | 5.12 | 1 | 5.00 | 1 |
| Предел | 11.35 | 4 | 10.59 | 4 | 8.57 | 4 | 8.06 | 3 | 7.34 | 3 | 7.12 | 3 |
3. УМНОЖЕНИЕ
| Период | < 0,5 | 0,5-1 | 1-2 | 2-3 | 3-4 | > 4 | ||||||
| Отлично | 6.05 | 0 | 5.37 | 0 | 4.12 | 0 | 3.44 | 0 | 3.36 | 0 | 3.33 | 0 |
| Хорошо | 7.14 | 1 | 6.42 | 1 | 5.07 | 1 | 4.35 | 1 | 4.23 | 1 | 4.16 | 1 |
| Предел | 9.46 | 3 | 9.04 | 3 | 7.11 | 3 | 6.29 | 3 | 6.07 | 2 | 5.51 | 2 |
4. ДЕЛЕНИЕ
| Период | < 0,5 | 0,5-1 | 1-2 | 2-3 | 3-4 | > 4 | ||||||
| Отлично | 5.25 | 0 | 4.57 | 0 | 3.32 | 0 | 3.04 | 0 | 2.56 | 0 | 2.48 | 0 |
| Хорошо | 6.34 | 1 | 6.02 | 1 | 4.27 | 1 | 3.55 | 1 | 3.43 | 1 | 3.31 | 1 |
| Предел | 9.06 | 3 | 8.24 | 3 | 6.31 | 3 | 5.49 | 3 | 5.27 | 2 | 5.06 | 2 |
Как уже отмечалось, в ходе эксперимента было изучено влияние предварительной работы по развитию элементарных вычислительных навыков на: 1) величину предельных значений параметров; 2) качество усвоения курса математики средней школы. С этой целью в некоторых экспериментальных классах (12) через год было проведено повторное тестирование, перед которым в качестве тренировки заполнялись тестовые таблицы (по две на каждое из арифметических действий). Кроме того, медленно работающим и часто ошибающимся ученикам таблицы выдавались на дом для самостоятельного заполнения.