Системы стабилизации и ориентации (стр. 2 из 4)
Задача обеспечения устойчивости является доминирующей при синтезе систем стабилизации ЛА. Движение системы на конечном интервале времени считается устойчивым, если на этом интервале при заданных начальных условиях и действующих возмущений его параметры не превышают заданных ограничений - техническая устойчивость. Если система содержит существенные нелинейности, то для устойчивости при заданных начальных условиях и действующих возмущений необходимо чтобы при начальной амплитуде периодической составляющей, превышающей её установившееся значение с течением времени эта амплитуда стремилась к своему установившемуся значению, а параметры установившегося движения не превышали заданных ограничений.
Для анализа устойчивости линейной или линеаризованной системы используется понятие асимптотической устойчивости, при этом обычно Используется стационарные математические модели, полученные с использованием метода замороженных коэффициентов. Система является асимптотически устойчивой, если:
·для непрерывных систем - корни характеристического полинома лежат в левой полуплоскости;
·для дискретных систем - корни характеристического полинома лежат внутри окружности единичного радиуса.
Устойчивость непрерывных систем может исследоваться с помощью первого метода Ляпунова, а также алгебраических критериев (Гурвица, Рауса и Льенара-Шепара). Для дискретных систем используется критерий Кларка и Шур-Кона. Основным недостатком применения данных критериев следует считать невозможность получения при этом оценок качества и точности. Пользуясь ими для систем высокой размерности, проектировщик не может дать рекомендаций по выбору параметров, не только обеспечивающих запасы устойчивости, но и удовлетворяющих требованиям к качеству и точности процессов регулирования. Следует отметить, что на устойчивость дискретных нелинейных систем большое влияние оказывает выбор такта квантования.
Частотные критерии устойчивости предполагают использование передаточных функций для описания системы регулирования и справедливы при её полной наблюдаемости и управляемости. Тогда критерий устойчивости по Ляпунову аналогичен критериям Михайлова, Михайлова-Найквиста и D-разбиениям Неймарка. Эти критерии применимы к анализу как непрерывных, так и дискретных систем. Однако в первом случае они базируются на методах s-преобразований, во втором - z-преобразований. Положив s=jw или z=ejwT0, строятся частотные характеристики, по которым определяются устойчивости систем регулирования по фазам и модулям и с помощью специальных номограмм оценивают показатели качества и характеристики точности. Большим преимуществом частотных критериев устойчивости является возможность их распространение и на многие типы нелинейных систем.
При проектировании систем стабилизации ЛА чаще всего используются алгебраические и частотные критерии, реже корневые.
1.4.1 Корневые критерии заключаются в вычислении корней
характеристического полинома замкнутой системы.
1.4.2 Алгебраические критерии устойчивости не требуют выполнения вычислительной процедуры определения корней характеристического уравнения и при относительно невысоких порядках дифференциальных уравнений (до 15-го) позволяют находить условия устойчивости автономных замкнутых систем.
А(s)=ansn + an-1sn-1+ an-2sn-2+…+a0. (1.11)
Критерий Гурвица. Корни характеристического уравнения (1.11) n-го порядка будут иметь отрицательные действительные части, если составленный из его коэффициентов аi> 0 определитель
(1.12)и все его диагональные миноры
(1.13)положительны.
Критерий Рауса. Зная коэффициенты характеристического уравнения, составляют таблицу Рауса(табл. 1.1). Для того чтобы замкнутая система была устойчива асимптотически, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты Рауса первого столбца таблицы при аi>0 были положительны, т.е. сi,1>0 (i=1,2,…). Для вычисления элементов табл. 1.1 можно использовать следующие рекуррентные формулы:
для первой строки таблицы
(1.14)для второй строки таблицы
(1.15)для остальных строк
(1.16)Таблица 1.1
| Номера строк | Номера столбцов | ||||
| 1 | 2 | 3 | ……. | I | |
| Коэффициенты с четными индексами | |||||
| а0 | а2 | а4 | ……. | ||
| Коэффициенты с нечетными индексами | |||||
| а1 | а3 | а5 | …….. | ||
| 1 | С11 | С12 | С13 | …….. | С1i |
| 2 | С21 | С22 | С23 | …….. | C2i |
| …. | …… | ….. | ….. | ……. | …… |
| к | Ск1 | Ск2 | Ск3 | …….. | Сiк |
Критерий Шур-Кона. Данный критерий позволяет анализировать устойчивость дискретных и дискретно-непрерывных систем по характеристическому полиному замкнутой системы, записанному в форме z-преобразования. Для уравнения n-го порядка имеем
A(z)=anzn+ an-1zn-1+ an-2zn-2+…+a0. (1.17)
По уравнению запишем коэффициенты в виде определителя
(1.18)где k=1,2,…,n; a*- сопряженные значения тех же коэффициентов.
Корни характеристического уравнения (1.18) будут находиться внутри единичной окружности, если коэффициенты уравнения (1.17) удовлетворяют всем определителям Шур-Кона, имеющего Dk < 0 - для нечетных k и Dk > 0 для четных k. В этом случае система будет устойчива
Критерий Кларка. Представляет собой совокупность 3-х необходимых условий, и лишь выполнение всех этих условий является условием устойчивости системы:
1. А(1) > 0
2. (-1)А(-1) > 0
3. Необходимо вычислить определители матриц D+ и D- , а также их внутренние матрицы. Внутренние матрицы получаются из исходных вычеркиванием окаймляющих строк и столбцов. Количество условий устойчивости зависит от порядка системы.
D+=Cn-1+Bn-1; D-=Cn-1-Bn-1; (1.19)
(1.20)Система устойчива, если определители матриц D+ и D- , а также всех её внутренних матриц положительны. Система не устойчива, если не выполняется хотя бы одно из условий устойчивости Кларка.
1.5 Синтез цифровых систем управления по желаемым частотным характеристикам разомкнутой системы
Одно из направлений развития алгоритмических методов синтеза базируется на использовании частотных методов исследования. Процедура машинного синтеза формируется при этом как задача аппроксимации оптимальной в определенном смысле частотной характеристики разомкнутой системы (так называемой желаемой характеристики) исходной характеристикой.
Приближение исходной характеристики к желаемой достигается применением законов управления (корректирующих устройств) минимальной сложности и осуществляется в выбранных характерных точках частот по критерию минимума средних квадратов. При этом под корректирующим устройством минимальной сложности понимается устройство, имеющее наименьшую размерность.
Пусть желаемая АФЧХ разомкнутой системы известна в точках, соответствующих выбранным псевдочастотам lк, к=1,2,…,m
W(jlк)=Uк+jVк. (1.21)
Для некоторых значений параметров наперед выбранного закона управления D(z) можно рассчитать АФЧХ скорректированной системы Wск(jlк) на этих же значениях частоты lк :
Wск(jlк)=W0(jlк)D(jlк)=Reк+jImк, (1.22)
где W0(jlк) - частотная характеристика располагаемой (исходной) системы при l=lк.
Затем следует определить сумму квадратов расстояний между соответствующими точками желаемой и скорректированной частотными характеристиками: