Реализация межпредметных связей на элективных курсах по началам математического анализа в классах (стр. 10 из 13)
Подробный материал об этих открытиях могут подготовить и сами учащиеся.
Важным моментом является показ практического применения производной.
Подробнее можно рассмотреть следующие примеры.
Бумажный змей
Бумажному змею, имеющему форму кругового сектора, желают придать такую форму, чтобы он вмещал в данном периметре р = 80 см наибольшую площадь. Каковы должны быть размеры бумажного змея?
Рис.3
Решение.
Введем обозначения (рис.3):
Пусть радиус сектора – х, дугу обозначим за у, тогда периметр можно выразить так:
и площадь равна: 
. Выразим и подставим в формулу площади: 
. Найдем производную функции S: 
Исследуем функцию на интервале (0 ; 80). Получаем, что в точке
функция принимает наибольшее значение, что нам и требовалось по условию задачи. Таким образом, мы нашли такие размеры кругового сектора и 
, при которых площадь бумажного змея наибольшая.Ответ: 20, 40.
Примеров таких задач множество, особенно применительно к задачам экономического содержания. Приведем пример. Функция прибыли фирмы имеет вид: П(Q)=R(Q) – C(Q)=2/5 Q2 – 4Q + 20, где R(Q) – выручка, C(Q) - издержки. Сколько следует фирме производить продукции, если ее производственные мощности ограничены объемом производства Q = 3.
Решение.
Задача сводиться к исследованию функции на наибольшее значение на промежутке [0;3].
П´(Q) = 4/5 Q – 4
П´(Q) = 0
Q = 5
Таким образом, Q = 5 – критическая точка. Проанализируем характер изменения производной (Рис. 4)
Рис.4
При Q < 5П´(Q) < 0 и прибыль убывает; при Q > 5П´(Q) > 0 и прибыль возрастает. Следовательно, в точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, и таким образом этот объем производства не является оптимальным. Точка Q = 5 не принадлежит промежутку [0;3], и функция на нем убывает, следовательно, она принимает наибольшее значение при Q = 0. В этом случае при Q = 3, фирме выгодно ничего не производить (например, сдавать помещение в аренду) [7].
Рассмотрим, как возможно реализовать межпредметные связи на основе задачного материала. Здесь при составлении системы задач нужно учитывать принципы, выделенные в I главе. Особое значение имеют принципы преемственности, связи теории с практикой и принцип полноты. На отработку данной темы в классах гуманитарного профиля можно предложить различные прикладные задачи, в том числе социально-экономического содержания. Содержательная сторона задач должна соответствовать реальной действительности, отвечать интересам учеников, можно использовать историко-научный материал. Например:
· Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно оградить бычьей шкурой. Но хитрая финикийская царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и оградила ремнем большой участок земли, примыкавший к морю. Считая берег моря прямолинейным, а огражденный участок прямоугольным, перед Дидоной встала задача: как оградить прямоугольный участок имеющимися ремешками длиной l, чтобы площадь была наибольшей? [9]
· База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу – 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции? [18]
· Командиру межгалактического космического корабля, движущемуся по закону x(t)=1+9t+3t2-t3 , сообщили о том, что приборы зафиксировали неопознанный летающий объект, стремительно приближающийся к кораблю. Чтобы избежать столкновения, необходимо максимально увеличить скорость. Каким должно быть ускорение корабля в момент, когда скорость станет максимальной? [29]
· Задача из истории математики, которую Евклид решал чисто геометрическим методом: доказать, что из всех параллелограммов, вписанных в данный треугольник, наибольшую площадь имеет тот, основание которого равно половине основания треугольника [9].
Для решения задач на оптимизацию желательно вместе с учащимися составить алгоритм, который совмещал бы в себе схему решения задач методом математического моделирования и алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции. Действовать по алгоритму учащимся-гуманитариям проще, к тому же алгоритмы помогают свертывать рассуждения, избегать многословности.
Здесь важно подчеркнуть, что многие задачи на нахождение максимума или минимума можно решить и другими способами, но их, порой, очень сложно найти. А использование производной является универсальным способом для всех задач такого типа [37].
Перейдем к рассмотрению реализации межпредметных связей темы «Производная и ее приложения» с гуманитарными дисциплинами, учитывая методы самой науки, являющейся профильной.
Что касается реализации межпредметных связей на основе методов наук, то здесь нужно отметить, что особенно приложения производной используются при математическом моделировании, которое широко применяется во многих науках с целью прогнозирования и последующего принятия решений, поэтому при изучении приложений производной можно использовать и этот метод.
Также возможно использование метода наблюдения, сравнения, например, при исследовании функций.
Рассмотрим, какие методы обучения могут быть использованы в ходе данного элективного курса. Как уже отмечалось выше, лучше использовать активные методы работы с учащимися. Возможно предложить такой проект: «Производная и ее применение». Цель такого проекта - ответить на вопрос: «Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни?» Можно выдвинуть гипотезу: «Дифференциальное исчисление - это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. Производная помогает нам успешно решать не только математические задачи, но и задачи практического характера в разных областях науки и техники». Результатом исследования могут быть презентация или буклет.
Что касается использования реферативно-исследовательской деятельности, то можно предложить такие темы докладов:
· Исследования Ньютона и Лейбница, их роль в развитии понятия производная.
· Производная в технике.
· Производная и сельское хозяйство.
Метод использования информационных технологий может быть использован во всех вышеперечисленных работах.
Таким образом, мы охарактеризовали элективный курс по теме «Производная и ее приложения» с точки зрения реализации межпредметных связей. Было показано, как осуществить эти связи на основе содержания материала и методов наук, приведены примеры задач, которые могут быть использованы на элективном курсе, даны некоторые методические рекомендации.
Не смотря на то, что на первый взгляд сложно говорить о связи математики и гуманитарных дисциплин, возможны достаточно разнообразные способы реализации таких взаимосвязей. Самый доступный из них и простой – использование в содержании занятий объектов, изучаемых гуманитарными дисциплинами.
2.3 Опытное преподавание
Я проходила педагогическую практику в МОУСОШ № 27 г. Кирова и провела два факультативных занятия в гуманитарном 10 классе по теме «Приложения производной» (разработка одного урока представлена в приложении). Перед тем, как проводить опытное преподавание, я изучила соответствующую математическую и методическую литературу. Среди учителей математики, проводящих элективные курсы в старших классах, я провела небольшое анкетирование с целью выяснить, каким образом лучше организовать занятия. В анкетировании принимали участие двое учителей, преподающих элективные курсы по математике в старших классах. Учителям были предложены следующие вопросы:
1. Каково Ваше отношение к элективным курсам?
2. Нужны ли элективные курсы по математике в классах гуманитарного профиля? Почему?
3. Какие элективные курсы по математике, кроме тех, которые уже проводятся, Вы считаете полезным провести (тематика)?
4. Как, на Ваш взгляд, учащиеся относятся к элективным курсам, с интересом ли посещают их, как этот интерес проявляется?
5. Требуется ли Вам какая-то особая подготовка к организации и проведению элективного курса?
Анализируя анкеты, можно сделать несколько выводов.
По мнению учителей, элективные курсы необходимы в школах в силу того, что они помогают учащимся и реализовать свои интересы и способности, и целенаправленно подготовиться к дальнейшему обучению, и просто расширить свой кругозор. Что касается гуманитарных классов, то учителя отмечают необходимость элективных курсов по математике, хотя проводить занятия в таких классах сложнее и готовиться нужно более тщательно, подбирать интересный материал из истории математики, применять игровые приемы проведения занятий, предлагать интересные задания. Среди тем, которые учителям хотелось бы видеть в качестве элективных курсов в старших классах гуманитарного профиля были следующие: «Элементы теории множеств», «Элементы комбинаторики», «Старинные математические задачи», «Текстовые задачи», «Замечательные кривые в природе», «Симметрия в природе».