Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.
Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением курса математики и использованием соответствующих методических приемов. [5]
Вместе с тем, ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом - системой операций. О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению. Умение осознано контролировать выполняемые операции позволяет формировать вычислительные навыки более высокого уровня, чем без наличия этого умения.
В целях формирования осознанных, обобщенных и рациональных навыков начальный курс математики строится так, что изучение вычислительного приема происходит после того, как учащиеся усвоят материал, являющийся теоретической основой этого вычислительного приема. Например, сначала ученики усваивают свойство умножения суммы на число, а затем это свойство становится теоретической основой приема внетабличного умножения. Так, при умножении 15 на 6 выполняется следующая система операций, составляющая вычислительный прием:
1) число 15 заменяем суммой разрядных слагаемых 10 и 5;
2) умножаем на 6 слагаемое 10, получится 60;
3) умножаем на 6 слагаемое 5, получится 30;
4) складываем полученные произведения 60 и 30, получится 90.
Как видим, здесь применение свойства умножения суммы на число (термин «распределительный закон» в начальном курсе не вводится) определило выбор всех операций, поэтому и говорят, что прием внетабличного умножения основан на свойстве умножения суммы на число или что свойство умножения суммы на число — теоретическая основа приема внетабличного умножения.
Легко заметить, что кроме свойства умножения суммы на число здесь использованы и другие знания, а также ранее сформированные вычислительные навыки: знание десятичного состава чисел (замена числа суммой разрядных слагаемых), навыки табличного умножения и умножения числа 10 на однозначные числа, навыки сложения двузначных чисел. Однако выбор именно этих знаний и навыков диктуется применением свойства умножения суммы на число. Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приемов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приемов в соответствии с их общей теоретической основой, предусмотренной действующей программой по математике для начальных классов, что даст возможность использовать общие подходы в методике формирования соответствующих навыков.
Назовем эти группы приемов:
1. Приемы, теоретическая основа которых — конкретный смысл арифметических действий. К ним относятся: приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случаев вида а + 2, а + 3, а + 4, а + 0; приемы табличного сложения и вычитания с переходом через десяток в пределах 20; прием нахождения табличных результатов умножения, прием нахождения табличных результатов деления (только на начальной стадии) и деления с остатком, прием умножения единицы и нуля. Это первые приемы вычислений, которые вводятся сразу после ознакомления учащихся с конкретным смыслом арифметических действий. Они, собственно, и дают возможность усвоить конкретный смысл арифметических действий, поскольку требуют применения конкретного смысла. Вместе с тем эти первые приемы готовят учащихся к усвоению свойств арифметических действий.
Таким образом, хотя в основе некоторых из названных приемов и лежат свойства арифметических действий (так, прибавление двух по единице выполняется на основе использования свойства прибавления суммы к числу), эти свойства учащимся явно не раскрываются. Названные приемы вводятся на основе выполнения операций над множествами.
2. Приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий. К этой группе относится большинство вычислительных приемов. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида 53 ± 20, 47 ± 3, 30 – 6, 9 + 3, 12 – 3, 35 ± 7, 40 ± 23, 57 ± 32, 64 ± 18; аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больших, чем 100, а также приемы письменного сложения и вычитания; приемы умножения и деления для случаев вида 14 × 5, 5 × 14, 81 : 3, 18 × 40, 180 : 20, аналогичные приемы умножения и деления для чисел больших 100 и приемы письменного умножения и деления.
Общая схема введения этих приемов одинакова: сначала изучаются соответствующие свойства, а затем на их основе вводятся приемы вычислений.
3. Приемы, теоретическая основа которых — связи между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся приемы для случаев вида 9 × 7, 21 : 3, 60 : 20, 54 : 18, 9 : 1, 0 : 6. При введении этих приемов сначала рассматриваются связи между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, затем на этой основе вводится вычислительный прием.
4. Приемы, теоретическая основа которых — изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Это приемы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (46 + 19, 512 – 298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50. Введение этих приемов также требует предварительного изучения соответствующих зависимостей.
5. Приемы, теоретическая основа которых — вопросы нумерации чисел. Это приемы для случаев вида а ± 1, 10 + 6, 16 – 10, 16 – 6, 57 × 10, 1200 : 100; аналогичные приемы для больших чисел. Введение этих приемов предусматривается после изучения соответствующих вопросов нумерации (натуральной последовательности, десятичного состава чисел, позиционного принципа записи чисел).
6. Приемы, теоретическая основа которых — правила. К ним относятся приемы для двух случаев: а × 1, а × 0. Поскольку правила умножения чисел на единицу и нуль есть следствия из определения действия умножения целых неотрицательных чисел, то они просто сообщаются учащимся и в соответствии с ними выполняются вычисления.
Целый ряд случаев может быть отнесен не только к указанной группе приемов, но и к другой. Например, случаи вида 46 + 19 можно отнести не только к четвертой группе, но и ко второй. Это зависит от выбора теоретической основы вычислительного приема. Как видим, все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. Это — реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками.
Общность подходов к раскрытию вычислительных приемов каждой группы — есть залог овладения учащимися обобщенными вычислительными навыками. Возможность использования различных теоретических положений при конструировании различных приемов для одного случая вычисления (например, для случая сложения 46 + 19) является предпосылкой формирования рациональных гибких вычислительных навыков.
В ходе формирования вычислительных навыков М.А. Бантова выделяет следующие этапы:
1. Подготовка к введению нового приёма.
На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приёма, а именно, учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается приём вычислений, а также овладеть каждой операцией, составляющей приём.
Например, можно считать, что ученики подготовлены к восприятию вычислительного приёма ±2, если они ознакомлены с конкретным смыслом действий сложения и вычитания, знают состав числа 2 и овладели вычислительными навыками сложения и вычитания вида ±1; готовностью к введению приёма внетабличного умножения (13 × 6) будет знание учащимся правила умножения суммы на число, знание десятичного состава чисел в пределах 100 и овладение навыками табличного умножения, навыками умноженная числа 10 на однозначные числа, навыками сложения двузначных чисел.
Центральное звено при подготовке к введению нового приёма - овладение учеником основными операциями.
2. Ознакомление с вычислительным приёмом.
На этом этапе ученики усваивают суть приёма: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.
При введении большинства вычислительных приёмов важно использовать наглядность. В некоторых случаях это оперирование множествами. Например, прибавляя к 6 число 3, придвигаем к 6 квадратам 3 квадрата по одному.
В других случаях в качестве наглядности используется развернутая запись. Например, при введении приёма внетабличного умножения выполняется запись:
13 × 6=(10 + 3) × 6=10 × 6 + 3 × 6 = 60 + 18 = 78
Выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух.
Сначала эти пояснения выполняется под руководством учителя, а потом самостоятельно учащимися.