Обобщения при обучении решению математических задач (стр. 7 из 12)
Эта задача может показаться сложной, поэтому рациональнее ее сформулировать в общем виде, используя знания о правильном октаэдре: «Даны замкнутая поверхность, обладающая центром симметрии, и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую объем тела, ограниченного данной поверхностью, на две равновеликие части». Искомая плоскость должна проходить через центр симметрии поверхности и определяться этой точкой и данной прямой. Так как октаэдр обладает центром симметрии, тем самым первоначальная задача оказывается найденной.
Так же следует использовать решение задачи в «общем виде» и в задачах с конкретными значениями, но решения которых громоздки. Решение задачи в «общем» виде с последующей подстановкой числовых данных часто позволяет лучше просмотреть план решения задачи, сократить записи, затратить меньше времени на вычисления.
Таким образом, при использовании обобщения как метода решения задач необходимо уметь выделять частные случаи. Так же полезно обучать школьников решению задач в общем виде, так как часто обобщенную задачу решить легче, чем конкретную задачу.
2.3Обобщение как источник новых математических задач
Обобщения при обучении решению математических задач могут способствовать возникновению новых задач. Новые задачи могут появиться как при исследовании конкретной задачи и ее решения, так и при исследовании обобщенной задачи и ее решения.
К возникновению новой обобщенной задачи могут привести индуктивные обобщения. Обратная операция – специализация, позволяет от обобщенной задачи перейти к конкретным задачам.
Так же с помощью обобщений по аналогии из одной конкретной задачи получают новые конкретные задачи, из обобщенной задачи – новые обобщенные задачи.
Получение новых задач важно тем, что при составлении задач учащиеся усваивают структуру задачи, взаимосвязь данных, данных и искомых, обнаруживают внутреннюю связь между задачами.
Для того чтобы получить новые задачи при помощи обобщений, используют следующие приемы:
1) обобщение данных при сохранении искомых;
2) обобщение (добавление) искомых при сохранении данных;
3) обобщение данных и искомых.
Рассмотрим подробнее эти приемы.
2.3.1 Обобщение данных при сохранении искомых
Замена одних данных (или части данных) другими при сохранении искомых приводит к применению разнообразных приемов и методов решения, казалось бы, близких по содержанию задач. При этом может применяться не один прием, а широкий спектр методов.
Изменением условия задачи при сохранении требования может являться: замена данных более общими; замена одних отношений между объектами задачи другими.
Замена числовых данных задачи параметром часто приводит к обобщенной задаче. Специализация обобщенной задачи помогает получить целый класс аналогичных задач. Конкретные числовые данные можно заменять буквами не все сразу, а последовательно.
Пример 25. «Найти, если сторона нижнего основания равна 10 м, сторона верхнего 5 м и высота пирамиды 6 м» [30].
Если числа 10, 5, 6 заменить буквами, например а, b, h, получим обобщенную задач: «Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна a, сторона верхнего b и высота пирамиды h». Перейдя от задачи «в числах» к задаче «в буквах», мы воспринимаем данные величины как переменные.
Обобщенная задача дает возможность составить и решить еще несколько типов задач, в которых одна из величин является искомой, а остальные – данными.
К появлению новых задачтак жеприводитобобщение понятий, данных в задаче.
Пример 26.Найти диагональ куба, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).
Обобщив понятие куба до понятия прямоугольного параллелепипеда, получим новую задачу:
Пример 27. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если даны три его измерения (длина, ширина и высота).
Замена одних отношений между объектами задачи другими тоже может привести к появлению новых задач.
Пример 28.Как изменится частное двух чисел если делимое увеличить в три раза?
Можно исследовать эту задачу и получить новые, размышляя, что произойдет с частным, если делимое увеличить в 3 раза, уменьшить в 3 раза, если изменить делитель, если изменить одновременно делимое и делитель? Возникает целая серия задач, порожденных данной задачей, которые можно записать в таблицу 3.
Табл. 3
| Условие задачи | Вопрос задачи |
| • Если делимое увеличить в 3 раза• Если делимое уменьшить в 3 раза• Если делитель увеличить в 3 раза• Если делитель уменьшить в 3 раза• Если делимое и делитель увеличить в 3 раза• Если делимое увеличить, а делитель уменьшить в 3 раза• Если делимое уменьшить, а делитель увеличить в 3 раза• Если делимое и делитель уменьшить в 3 раза | Как изменится разность? |
После решения конкретных задач полезно сделать обобщения: если делимое и делитель увеличить или уменьшить в одно и то же положительное число раз, то не изменится; если делимое увеличить, а делитель уменьшить в одно и то же положительное число раз, то частное увеличиться в квадрат этого числа; если делимое уменьшить, а делитель увеличить в одно и то же положительное число раз, то частное уменьшится в квадрат этого числа.
Изменяя отношения между данными задачи, делая их более общими так же можно получить новые задачи.
Пример 29. Доказать, что сумма расстояний, от точки пересечения медиан правильного треугольника до его сторон постоянна.
От этой задачи можно перейти к следующей:
Пример 30.Доказать, что сумма расстояний, от точки взятой произвольно внутри правильного треугольника до его сторон постоянна.
2.3.2 Обобщение (добавление искомых) при сохранении данных
Новая математическая задача может быть получена с помощью изменения требования задачи при сохранении условия: добавления новых заключений; обобщения искомых.
В большинстве случаев в задаче встречается лишь один вопрос, одно заключение, но содержащаяся в задаче информация иногда позволяет сделать и другие выводы (ответить на другие вопросы, сделать другие заключения), т.е. добавить новые заключения при сохранении данных.
Пример 31.Даны две прямые a и b. Доказать, что любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны. [1]
Вначале требуется доказать параллельность прямых a и b. Тогда прямая, пересекающая a будет не только пересекать прямую b, но и обладать свойствами над этими прямыми: их накрест лежащие, соответственные и углы будут равны, а сумма односторонних будет равна 1800. Поэтому можно сформулировать более общую задачу.
Пример 32. Даны две прямые a и b. Доказать, что любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b, то прямые a и b параллельны, ихнакрест лежащие, соответственные и углы будут равны, а сумма односторонних будет равна 1800.
Задачи, которые приучают учащихся рассматривать всевозможные заключения из данных посылок, что бывает необходимо при решении многих задач на доказательство, при доказательстве различных теорем, иногда называют задачами «без вопросов».На основе решения таких задач удобно рассматривать обобщения о искомых в задаче.
Пример 33.Дана прямоугольная призма, в основании которой трапеция. Установите всевозможные взаиморасположения прямых, содержащих ребра данной призмы.
Прямые, содержащие ребра данной призмы могутнаходиться в трех положениях: быть параллельны,
пересекаться, быть скрещивающимися. Учащиеся, находя