Широкое применение таблиц отмечается при обобщении материала, используемого при решении задач. Такие обобщающие таблицы могут быть использованы для различных целей: повторить и систематизировать знания, установить причинно-следственные связи между свойствами объектов, изложить материал укрупненными блоками, рационально заучить и воспроизвести материал [15].
Особое место среди обобщающих таблиц занимают динамические обобщающие таблицы. Они четко отражают взаимосвязи объектов в таблице и логику обобщения.
Примерами таких таблиц могут быть: обобщающая таблица свойств действительных чисел ивекторов в школьном курсе математики [15] [Приложение 1] и сравнительнаятаблица связи векторов в геометрии и физике [15] [Приложение 2]. Примером обобщающей таблицы систематизации знаний учащихся может служить динамическая обобщающая таблица основных тригонометрических формул и их взаимосвязей [10] [Приложение 3].
Таким образом, для лучшего понимания процесса сравнения и анализа задач, при систематизации методов решения задач, при выводе понятий и обобщении материала, используемого при решении задач, удобно использовать обобщающие таблицы.
2.6 Опытное преподавание
Цель: апробация методических рекомендаций на уроках математики в 10-м классе, выявление их влияния на результативность обучения школьников решению задач.
Место проведения: муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия №2 города Кирово – Чепецка Кировской области.
Время проведения: 2007–2008 учебный год.
Класс: 10
Учитель: Останина Ольга Александровна, учитель математики высшей квалификационной категории.
Содержание опытного преподавания.
Учитель систематически и целенаправленно в соответствии с методическими рекомендациями осуществлял обобщения решения задач при изучении различных тем алгебры и начала анализа и геометрии.
Приведем некоторые примеры использования обобщений.
Обобщение и систематизация теоретического материала по теме преобразование тригонометрических выражений учитель проводил при помощи динамической обобщающей таблицы основных тригонометрических формул и их взаимосвязей из пункта 2.5 [Приложение 3].
При изучении темы «производная» для формирования понятия производной осуществлялось индуктивное обобщение результатов решений задач из различных областей знаний (механики, геометрии, физики).
На основе сравнения и анализа решения конкретных задач был выявлен общий математический алгоритм решения для всех конкретных задач, которые приводят к новому математическому понятию – понятию производной. Все записи были оформлены в таблицу. [приложение 4]
После заполнения таблицы дается определение производной: производной функции fв точке х0называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, вычисленный при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен.
Понятие производной позволило сформулировать другие понятия: мгновенной скорости тела («мгновенная скорость есть производная пути по времени»), углового коэффициента касательной к графику дифференцируемой функции («угловой коэффициент производная функции в этой точке f(х0)»), мгновенной силы тока («мгновенная сила тока есть производная количества электричества по времени»).
При таком подходе учащиеся смогли осознать появление понятия и усвоить механический, геометрический, физический смысл производной, а так же научиться решать разнообразные задачи на приложения производной.
При изучении этой же темы проводилось обобщение решения конкретной задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения до метода решения класса задач на оптимизацию.
Для этого была выбрана конкретная задача, ее решение оформлялось в таблицу, состоящую из двух столбцов [приложение 5]. В левом столбце – решение конкретной задачи, в правом – решение обобщенной задачи.
Задача: сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение [25, №949а].
Таким образом был выведен общий метод решения задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения.
Составленная схема решения задач на оптимизацию сравнивалась со схемой решения алгебраических текстовых задач и был сделан вывод, текстовые задачи алгебры и начал анализа решаются по одной схеме
Из решения данной конкретной задачи так же можно вывести следующее обобщение: «произведение двух чисел, если известна их сумма, будет наибольшим, если эти числа равны».
Обобщение как метод решения задач по индукции использовалось при выведении формулы площади боковой поверхности правильной n‑угольной призмы.
Вначале выводилась формула площади боковой поверхности правильной треугольной призмы.
Так как Sбок= Pосн*h, то для правильной треугольной призмы будет выполняться: Sбок= 3*а*h, где а – сторона правильного треугольника, находящегося в основании призмы.
Далее формула обобщалась до формулы площади боковой поверхности правильной n‑угольной призмы.
Так, Sбок= n*а*h, где а – сторона правильного n‑угольника, находящегося в основании призмы.
Все записи оформляем в таблицу [приложение 6].
Выведенная таким образом формула более понятна учащимся и сразу определяется класс задач, к которым она применима.
Обобщение как метод решения задач в «общем виде» был осуществлен при изучении темы «Многогранники» на уроке «Решение задач на призму», с целью показать, как иногда бывает более удобно решить задачу в общем виде, а потом подставить конкретные значения [Приложение 7].
Был сделан вывод, что решение задачи в общем виде и последующая подстановка числовых данных короче и производится быстрее по времени, так же яснее просматривается план решения задачи.
В результате апробации было установлено, что использование методических рекомендаций позволило повысить познавательную активность учащихся и результативность решения задач, что подтверждено рецензией учителя проводившего опытное преподавание.
Выводы по второй главе.
Таким образом обобщения при обучении решению задач являются эффективным средством поиска решения задачи и овладения общими методами решения задач.
Индуктивные обобщения при решении математических задач используются для вывода новых методов решения задач, перехода от одних методов решения задач к более общим, применимым к решению широкого класса задач. Так же индуктивные обобщения подходов к решению задачи их систематизация помогают в создании системы советов, полезных в процессе отыскания решения задачи.
Сами обобщения могут являться методом решения класса задач. При использовании обобщения как метода решения задач «по индукции» необходимо уметь выделять частные случаи. Полезно обучать школьников решению задач в общем виде, так как часто обобщенную задачу решить легче, чем конкретную задачу.
Обобщения приводят в возникновению новых задач. Необходимо проводить анализ задач и их решений, а так же обобщенных задач и их решений, при этом учащиеся могут сами составлять новые задачи, осуществляя замену части данных другими при сохранении искомых, добавляя новые заключения или обобщая искомые.
Введение понятий и теорем с помощью обобщения задач улучшает понимание вводимого знания, учащиеся сами осознают, как получили и для чего нужно новое знание, определяют его место в системе других понятий или теорем.
Обобщающие таблицы служат для проведения сравнения и анализа математических задач и их решений, при систематизации способов и методов решения задач, при составлении системы советов для поиска решения задач, при выводе понятий и обобщении материала, используемого при решении задач.
В результате проведения опытного преподавания было выявлено положительное влияние осуществления обобщений на результативность обучения школьников решению задач.
Заключение
В данной работе рассмотрены обобщения при обучении решению математических задач в курсе средней (полной) школы.
Цель работы достигнута, поставленные задачи выполнены.
В работе были рассмотрены обобщения при обучении методам решения математических задач, обобщение как метод решения математических задач, обобщение как источник новых математических задач, так же обобщения задач ведущие к формированию математических понятий и теорем.
Так же была показана роль таблиц как средства обобщения при обучении решению математических задач.
Опытное преподавание подтвердило выдвинутую гипотезу: если на уроках математики организовать процесс обучения решению задач в соответствии с предложенными методическими рекомендациями, то это позволит повысить результативность обучения школьников решению задач.
Библиографический список
1. Атанасян, Л.С. Геометрия 7–9 [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. – М.: Просвещение. 1996. – 336 с.
2. Атанасян, Л.С. Геометрия 10–11 [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. – М.: Просвещение. 1997. – 256 с.
3. Балк, Г.Д. О применении эвристических приемов в школьном преподавании математики [Текст] / Г.Д. Балк // Математика в школе. – 1969. – №5. – С. 21 – 28.
4. Бернштейн, М.С. Задачи на доказательство в курсе геометрии [Текст] / М.С. Бернштейн // Математика в школе. -1941. – №4. – С. 19–30.
5. Богушевский, К.С. Из писем и заметок читателей [Текст] / К.С. Богушевкий // Математика в школе. -1952. – №5. – С. 60–72.
6. Болтянский, В.Г. Анализ – поиск решения задач [Текст] / В.Г. Болтянский // Математика в школе. – 1974. – №1. – С. 34 – 40.
7. Выготский, Л.С. Избранные педагогические исследования[Текст] / Л.С. Выготский, Л.С. – М.:Изд-во АПНРСФСР, 1956. – 519 с.