Б.В. Гнеденко [6] выделяет следующие свойства математического мышления: 1) способность улавливать нечеткость рассуждения, отсутствие необходимых звеньев доказательства; 2) привычку к полноценной логической аргументации; 3) четкую расчлененность хода рассуждений; 4) лаконизм; 5)точность символики.
С.И. Шварцбурд считал, что главным элементом математического воспитания следует признать воспитание творческой деятельности учащихся, и выделял компоненты «математического развития», которые рассматриваются в методической литературе: развитие пространственного представления; умение отделить существенное от несущественного; умение абстрагировать; умение абстрактно мыслить; умение от конкретной ситуации перейти к математической формулировке вопроса, к схеме, сжато характеризующей существо дела; обладание навыками дедуктивного мышления; умение анализировать, разбирать частные случаи; применение научных выводов на конкретном материале; умение критиковать и ставить новые вопросы; владение достаточно развитой математической речью, как письменной, так и устной; обладание достаточным терпением при решении математических задач.
Самое значительное исследование психологов по данной проблеме принадлежит В.А. Крутецкому и изложено в его книге «Психология математических способностей школьников».В. А. Крутецкий даёт следующее определение математическим способностям: "Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики". Собранный В. А. Крутецким материал позволил ему выстроить следующую общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте.
1. Получение математической информации.
1) Способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.
2. Переработка математической информации.
1) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.
2) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.
3) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.
4) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.
5) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.
6) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).
3. Хранение математической информации.
1) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).
4. Общий синтетический компонент.
1) Математическая направленность ума.
Выделенные компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.
Не входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:
1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.
2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме).
3. Память на цифры, числа, формулы.
4. Способность к пространственным представлениям.
5. Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.
1.2.3. Классификация математических способностей.
Исходя из всего вышесказанного и основываясь на компонентах (параметрах) математических способностей, выявленных математиками, педагогами и психологами в нашей стране и за рубежом, проведу систематизацию этих параметровпредложенную В.А. Гусевым в его работе «Психолого-педагогические основы обучения математике».
Классифицируя составляющие математических способностей, автор пришёл к выводу, что прежде всего их можно распределить по двум основным блокам: в первый блок входят общие характеристики мышления или умственной деятельности (формулировки этих качеств личности формально не связаны ни с какой специальной математической деятельностью); ко второму блоку относятся параметры математических способностей, непосредственно связанные с математической деятельностью учащихся. Совершенно ясно, что эти параметры следует идентифицировать по уровню их сложности, продвинутости и т. д. Отмечу при этом, что все составляющие взяты автором из соответствующих исследований, выполненных к настоящему времени.
Итак, рассмотрим один из возможных вариантов классификации составляющих (параметров) математических способностей учащихся (см. Приложение 1).
Оценивая предложенную классификацию параметров математических способностей, можно сделать следующие выводы.
1.Отличительной чертой данной классификации является ее направленность на целостное формирование личности каждого школьника, и в этой связи ее многогранность.
2. Бросается в глаза большое пересечение указанных параметров с общими целями обучения математике, сложность этих взаимосвязей. Важно отметить, что фундаментом во всем этом многообразии являются мыслительные процессы, это выдвигает на первый план процессы формирования приемов мыслительной деятельности.
3. Построенная классификация играет немаловажную роль
в диагностике параметров математических способностей учащихся и позволяет дифференцировать их по уровням владения теми или иными приемами мыслительной деятельности.
4. Особенно важно, что здесь выделяются некоторые врожденные параметры (задатки), о которых нам известно немногое.
Выводы.
Под математическими способностями следует понимать специальные особые способности, которые необходимы для успешного выполнения математической деятельности. Математические способности являются не единым образованием, а имеют сложную многогранную структуру. Успешность математической деятельности зависит не от отдельно взятой способности, а от комплекса способностей. Математическая одарённость предполагает наличие определённых природных предпосылок и проявляется только в творческой деятельности. Однако не следует забывать, что каждый человек (ученик) обладает в определенной мере математическими способностями. Оценить и развить эти способности — задача педагогов.
Глава II.
Методика развития математических способностей.
Раздел 1. Общая методика.
2.1.1. Общие положения теории развития способностей.
Диалектико-материалистическая концепция развития способностей, преобладающая в отечественной психологии, опирается на следующие положения. Все психические явления, включая способности, являются вторичными образованиям по отношению к объективному миру, образу жизнедеятельности человека, его обучению и воспитанию, которые служат причиной, источником психического развития. Анатомо-физиологические задатки выступают лишь необходимые условия развития человека и его способностей. Способности имеют общественно-исторический характер. Их разнообразие порождено большим количеством исторически сложившихся видов деятельности, профессий, специальностей. Способности в своем развитии в основном определяются образом жизни и деятельности и изменяются с изменением жизнедеятельности. В формировании и развитии способностей решающую, определяющую роль играют внешние условия, обучение и воспитание в самом широком смысле слова, те виды деятельности, которые выполняет человек. Личность формирует и развивает свои способности в процессе усвоения и приумножения опыта прошлых поколений, воплощенного в продуктах материальной и духовной культуры. Формирование и развитие способностей определяется не только достигнутым уровнем культурного развития страны, наличием продуктов культуры, в которых воплотились способности человека, а прежде всего эффективностью способов усвоения (присвоения), созидания и усовершенствования этих продуктов в процессе рационально организованной деятельности. Причем не всякая деятельность развивает и формирует способности человека. Рассматривая общую структуру жизнедеятельности человека, нетрудно заметить существование видов деятельности, не развивающих, а наоборот, отвлекающих и даже тормозящих развитие его основных способностей. Так, если человек, имеющий музыкальные или изобразительные наклонности задатки, вынужден заниматься тяжелым физическим трудом, то эта деятельность вряд ли будет развивать его потенциальные способности к музыке и живописи. Когда говорят о развивающей деятельности применительно к отдельному индивиду, то имеют в виду, что она, во-первых, выступает как значимая для него, как деятельность, вокруг которой аккумулируются и реализуются все возможности человека. Поэтому, чтобы понять, является ли данная деятельность развивающей, ей необходимо дать личностную характеристику. В этом смысле даже профессиональная деятельность, проходящая через всю жизнь человека, не всегда может быть значимой для индивида. Главным признаком значимости деятельности является то, что он идет на свою работу как на праздник, с большим воодушевлением. Во-вторых, такая деятельность должна быть организована в соответствии со следующими принципами: носит не репродуктивный, а творческий (во всяком случае субъективно-творческий) характер; отвечает принципам развивающего обучения, которое ведется на повышенном уровне сложности и опережает развитие, ведя его за собой, ориентируясь на те компоненты способностей, которые еще не полностью сформировались и которые формируются под влиянием такого обучения; деятельность положительно мотивирована: учащиеся испытывают чувство большой радости, совершая ее, и отчетливо понимают свои недостатки и допускаемые ошибки, видят результаты своих действий, осознают и объективно оценивают свое продвижение к цели на каждом этапе деятельности, заметно переживают успехи и относительные неудачи.